高斯分布意义及其表达式、方差和协方差

• 复高斯分布

高斯分布的重要意义，不只是形式简单而已！！

高斯分布是具有二阶矩的同分布中，不同维度变量之间的协方差为0的一类分布。因此其具有最混乱的特性，即对应着最坏的情况。噪声分布情况完全随机，因此其往往作为理论推导的初始假设，在理论研究中具有重要意义，但是要明确的是，实际噪声往往不是高斯分布的（比如k分布，瑞利分布等），实际中由于地杂波等的影响，干扰往往是具有一定相关性的分布。因此研究高斯分布噪声相当于是在讨论一个最坏情况下的性能下界，因而其在雷达处理中最常见、最常用。

通信系统中最常见的是复高斯分布，其定义如下

复高斯分布的熵也有闭式表达式

• 方差（Variance）

对于随机变量 X，方差定义为

也可以写成

• 协方差的定义

对于随机向量 x：

注意这里,其中为一个随机变量，与上面方差不同，协方差是对不同随机变量之间的取二阶矩，衡量的是不同随机变量之间的相关性。其中的对角线元素就是各自随机变量的方差。

协方差和方差的性质

乘一个矩阵就是一个线性变换，推导直接用协方差定义即可。