29、氢原子的量子特性与波函数解析

氢原子的量子特性与波函数解析

1. 氢原子的能量计算

在氢原子的研究中，我们首先关注其能量的计算。通过公式 $\lambda = n = Z\alpha\sqrt{-\frac{m_ec^2}{2E}}$ 求解主量子数 $n$，可以得到氢原子的能量公式：
$E_n = -Z^2m_ec^2\alpha^2\cdot\frac{1}{2n^2}=-\frac{Z^2e^2}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{1}{2n^2a_0}$
这正是玻尔能量公式。其中，电子的静止能量 $m_ec^2$ 约为 $0.511MeV$，当 $Z = 1$ 时，基态能量 $E_1 = -13.6eV$。在原子单位制中，由于 $\alpha c \equiv 1$，玻尔能量可表示为 $E_n = -\frac{Z}{2n^2}$ (a.u.)。

同时，我们有 $n = j + \ell + 1$ 的关系，这意味着将特定级数在 $j$ 项后截断。由于 $j$ 的最小值为 $0$，所以可得 $\ell\leq n - 1$。通常，我们将 $j$ 记为 $n_r$，称为径向量子数，即 $n = n_r + \ell + 1$。

2. 能量本征值的简并性

氢原子的能量本征值与量子数 $\ell$ 无关，这导致了意外简并的出现，类似于各向同性谐振子的额外简并情况。为了计算简并度 $g_H$，我们需要对给定主量子数 $n$ 下的所有 $\ell$ 态，在角动量 $z$ 分量的量子数 $m$ 的所有可能值上求和：
$g_H = \sum_{\text{all }\ell}\sum_m=\sum_{\ell = 0}^{n - 1}(2\ell