10、量子行走在有限图上的研究

量子行走在有限图上的研究

1. 循环图上的量子行走

在循环图的量子行走研究中，有几个重要的结论。首先，对于任意偶数步 $t$，可以利用给定的恒等式和公式 (6.32) 证明：
$\sum_{j = 0}^{N - 1} p_j(t) = 1$
对于奇数步 $t$，可通过练习 6.4 的方法来证明同样的结论。

当 $N$ 为偶数时，如果 $t$ 是偶数，有：
$\vert \psi(t) \rangle = \frac{1}{N} \sum_{j = 0}^{N - 1} (1 + (-1)^j) \begin{bmatrix} \sum_{k = 0}^{N/2 - 1} A_k(t) e^{i j \theta_k} \ \sum_{k = 0}^{N/2 - 1} B_k(t) e^{i j \theta_k} \end{bmatrix} \vert j \rangle$
从这个结果可以推出，对于奇数 $j$，$p_j(t) = 0$。利用练习 6.4 的方法，当 $t$ 为奇数时，对于偶数 $j$，$p_j(t) = 0$。这个结果可以从 $N$ 的奇偶性和移位算子的性质来解释。

1.1 周期解

在某些情况下，量子行走的演化可以是周期性的，即存在一个整数 $T$，使得对于任意步数 $t$，都有 $\vert \psi(t + T) \rangle = \vert \psi(t) \rangle$。为了得到周期解，可利用公式 (6.21)，在给定初始条件后，它能完全确定量子行走在时间 $t$ 的状态。需要找到 $T$ 使得 $U^T = I$，这意味着：
$e^{-i \omega_k T} = e^{