27、各向同性谐振子：理论、应用与核壳模型

各向同性谐振子：理论、应用与核壳模型

1. 氘核束缚态的径向概率密度

在对氘核束缚态的研究中，当把势近似为有限方势阱时，其径向概率密度自动包含了球坐标体积元中的 $r^2$ 因子。通过计算，使用 $a = 1.4fm$ 来绘制概率图的波函数，调整 $U_0$ 得到正确的结合能 $2.22MeV$，此时 $U_0$ 为 $48MeV$，这与之前的计算结果相符。由于束缚态非常接近势阱顶部，质子和中子在势阱范围之外被发现的概率极高。

2. 各向同性谐振子概述

之前我们详细研究了一维谐振子，现在来探讨其三维类比问题。主要区别在于三维情况下必须考虑轨道角动量。在笛卡尔坐标系中，一般的势能函数可写为：
$U (x, y,z) = \frac{1}{2}k_x x^2 + \frac{1}{2}k_y y^2 + \frac{1}{2}k_z z^2$
当 $x$、$y$、$z$ 方向的弹簧常数不同时，这不是一个中心力势，因为不能将势能写成 $U (r)$ 的形式。而当所有弹簧常数相同时，即 $k_x = k_y = k_z = k$，势能可表示为：
$U (r) = \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}\mu\omega^2 r^2$
这里用 $\mu$ 表示质量以避免与球坐标量子数 $m$ 混淆。这种情况下，谐振子势被称为各向同性，因为它在空间的所有方向上都相同。可以想象一个质量为 $\mu$ 的粒子连接在固定于原点的弹簧末端，粒子可以在所有方向上以相同的方式振动和旋转。由于这是一个中心势，在球坐标中，角本征函数是球谐函数。我们需要求解径向方程来得到 $R (r)$ 和能量本征值。在此之前，我们发现定态薛定谔方程（TISE）