20、复合动态系统轨迹扩展原理与Krotov函数应用

复合动态系统轨迹扩展原理与Krotov函数应用

1. 复合动态系统运动描述

复合动态系统（CDS）子系统沿包含中央和侧分支的分支轨迹运动，其动力学由以下方程描述：
[
\dot{\beta x}=\beta f(\beta x, \beta u, t), t \in [t_{\beta}^{}, t_{\beta}]
]
其中，(\beta x \in E^{n})，(\beta u \in E^{m_{\beta}})，(\beta)的取值有不同情况，如(\beta = i)，(\beta^{} = i - 1)；(\beta = ij)，(\beta^{*} = i)；(i = \underline{1, k})；(j = \underline{1, r_{i}})。

同时，对系统施加了限制条件：
[
(\beta x(t), \beta u(t)) \in G_{\beta}(t)
]
其中，(\beta u(t))是分段连续的，满足(t_{\beta}^{*} \leq t \leq t_{\beta})，且(\beta u(t) = \beta u(t + 0) = \lim_{\tau \to t + 0} u(t))。(G_{\beta})是对子系统相坐标极限值及其达到时间的限制。

在CDS划分为子系统的时间点，满足以下关系：
[
i x(t_{i}) - ij x(t_{i}) = 0 (i = \underline{1, k}; j = \underline{1, r_{i}})
]
[
i x(t_{i})