38、量子物理中的时间相关微扰与原子辐射相互作用

量子物理中的时间相关微扰与原子辐射相互作用

1. 费米黄金规则

在量子物理的研究中，我们常常会遇到时间相关微扰的问题。通过一系列的推导，我们得到了如下重要的积分结果：
[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2\left(\frac{(\omega - \omega_{fi}’)t}{2}\right)}{\left(\frac{(\omega - \omega_{fi}’)t}{2}\right)^2} dE_f’ = \frac{\hbar^2}{t} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx = \frac{2\pi\hbar}{t}
]
由此得出了从初态 (i) 到末态 (f) 的一级近似跃迁概率 (P_{i \to f}^{(1)}) 的表达式：
[
P_{i \to f}^{(1)} = \frac{2\pi t}{\hbar} |\hat{W}{fi}|^2 \rho_f(E_f)
]
这一方程被称为费米黄金规则。我们更关注的是跃迁速率（单位时间内的跃迁概率），用 (w{if}) 表示。对上述跃迁概率表达式求导，可得跃迁速率的表达式：
[
w_{if} = \frac{dP_{i \to f}}{dt} = \frac{2\pi}{\hbar} |\hat{W}{fi}|^2 \rho_f(E_f)
]
不过，这一表达式的有效性依赖于两个假设条件：
- 时间 (t) 要足够长，使得 (\frac{4\pi\hbar}{t}) 远小于态密度 (\rho_f(E_f