14、WKB近似方法及其应用详解
WKB近似方法及其应用详解
1. WKB近似基础
在量子力学中，WKB（Wentzel - Kramers - Brillouin）近似是一种重要的近似方法。从动量角度来看，有如下关系：
[
\int_{a}^{b} p(x) dx = \left(n + \frac{1}{2}\right) \pi\hbar
]
在经典情况下，粒子会在转折点之间振荡。在相空间（p - x平面）中，粒子的一个周期满足：
[
\int p(x) dx = \left(n + \frac{1}{2}\right) h
]
这个积分形式代表了玻尔 - 索末菲量子化规则，它在玻尔原子理论和含时薛定谔方程（TDSE）的发展之间架起了桥梁。若用德布罗意波长表示，有：
[
\int \frac{dx}{\lambda(x)} = \left(n + \frac{1}{2}\right)
]
这相当于要求在p - x平面的一个完整“轨道”中包含半整数个波长。不过，这些表达式仅在n较大时才真正有效。
例如，对于无限深方势阱（L - 盒），(\lambda(x))为常数，积分值等于2L，即：
[
\frac{2L}{\lambda_n} = \left(n + \frac{1}{2}\right) \Rightarrow E_n = \frac{p^2}{2m} = \frac{(2n + 1)^2 h^2}{32L^2m}
]
虽然这些不是正确的能量本征值，但在(n \to \infty)的极限情况下是正确的。