25、系统完成问题：理论与应用

系统完成问题：理论与应用

1. 基本概念与问题提出

在控制理论中，线性时不变系统通常采用标准的状态空间表示：
[
\begin{cases}
Dx(t) = Ax(t) + Bu(t) \
y(t) = Cx(t) + Du(t)
\end{cases}
]
其中，系统有 (n) 个状态、(m) 个输入和 (p) 个输出，(A \in R^{n×n})，(B \in R^{n×m})，(C \in R^{p×n})，(D \in R^{p×m})，对于连续时间系统，(D) 表示微分算子。根据输入和输出的数量关系，系统可分为宽系统（(m > p)）、高系统（(m < p)）和方形系统（(m = p)）。

对于非退化、可控且可观测的系统，其传输零点由 (\lambda \in C) 定义，满足：
[
\rho[R(\lambda)] = \rho
\begin{bmatrix}
A - \lambda I & B \
C & D
\end{bmatrix}
< n + \min(m, p)
]
其中，(\rho) 表示矩阵束 (R(\lambda)) 的秩。传输零点在状态或输出反馈下是不变的，一旦系统的四元组 (\Sigma(A, B, C, D)) 确定，传输零点的位置就由上述秩条件决定。

本文主要探讨两个紧密相关的问题：
-平方化或部分系统完成问题：给定一个高系统或宽系统，在什么条件下可以找到 (B) 和 (D) 的额外列，或者 (C)