8、无限图上的量子行走：深入解析与实践探索

无限图上的量子行走：深入解析与实践探索

1. 量子行走基础

量子行走的相关空间为 $H_M \otimes H_P$，其计算基为 ${|s, n\rangle, s \in {0, 1}, -\infty \leq n \leq \infty}$，这里规定 $s = 0$ 表示向右，$s = 1$ 表示向左。基于此，移位算子 $S$ 定义为：
[S = \sum_{s = 0}^{1} \sum_{n = -\infty}^{\infty} |s, n + (-1)^s\rangle\langle s, n|]
当 $s = 0$ 时，应用一次 $S$ 后 $n$ 的值增加 1；当 $s = 1$ 时，$n$ 的值减少 1。

在时间 $t$ 时，行走者的一般状态可描述为：
[|\Psi(t)\rangle = \sum_{s = 0}^{1} \sum_{n = -\infty}^{\infty} \psi_{s, n}(t)|s, n\rangle]
其中系数 $\psi_{s, n}(t)$ 是复函数，称为概率振幅，它们满足归一化条件：
[\sum_{n = -\infty}^{\infty} |\psi_{0, n}(t)|^2 + |\psi_{1, n}(t)|^2 = 1]
概率分布由下式给出：
[p_n(t) = |\psi_{0, n}(t)|^2 + |\psi_{1, n}(t)|^2]

2. 哈达玛硬币

使用哈达玛算子 $H$ 作为硬币：
[H = \frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
1 & 1