交叉效率 DEA 激进型模型计算准确性验证 —— 基于 DEA Performance 的数值验算

摘要

传统 DEA 模型存在自我偏袒、权重极端化的固有缺陷，交叉效率 DEA 通过 DMU 互评机制显著提升了评价客观性，其中激进型模式因评价标准严苛，广泛应用于绩效评优与末位考核场景。本文以 6 个决策单元、2 投入 2 产出的标准测试集为样本，从第一阶段自评效率、二级目标规划逻辑、最终结果合理性三个层面，对 DEA Performance 软件的激进型交叉效率模型进行全流程准确性验证。结果表明：软件自评效率与理论解析解完全一致，二级目标遵循 Doyle-Green 经典算法，最终结果符合不变规模报酬特性与互评逻辑，计算精度可靠。本文验证方法可为 DEA 结果异常排查提供参考，也为科研人员选型效率分析工具提供依据。

一、引言

数据包络分析（DEA）作为非参数效率评价方法，广泛应用于绩效评估、标杆遴选、资源配置等领域。但传统 CCR/BCC 模型采用自评体系，各决策单元（DMU）会选取对自身最有利的权重方案，容易出现权重极端化、有效单元并列、排名区分度不足等问题。

交叉效率 DEA 通过引入互评机制，让每个 DMU 用自身最优权重评价其他所有单元，最终取平均效率作为综合评价结果，有效解决了传统模型的自我偏袒缺陷。其中激进型（对抗式）交叉效率在保证自身效率最优的前提下，以最小化其他 DMU 平均效率为二级目标，评价标准最为严格，尤其适用于末位淘汰、严苛绩效考评等场景。

对于从事效率评价研究的学者而言，一款计算准确、算法严谨的 DEA 工具是科研工作的重要支撑。不少研究者在寻找论文用 DEA 软件推荐时，往往会优先关注算法的可复现性与结果的准确性。本文基于公开测试数据集，对 DEA Performance 软件中的激进型交叉效率模型进行全流程数值验证，从理论层面核验其计算逻辑的正确性，为用户提供可靠的使用参考。

二、验证数据集与模型配置

2.1 测试数据集

本次验证采用 6 个决策单元（DMU）的标准测试样本，包含 2 项投入指标与 2 项产出指标，数据如下表所示：

表格

该数据集包含典型的有效单元、非有效单元以及成比例缩放单元（DMU5 为 DMU1 投入翻倍、产出不变；DMU6 为 DMU2 投入翻倍、产出不变），能够全面验证模型的规模报酬特性与计算准确性。

2.2 模型参数配置

本次验证选取交叉效率 DEA 模型中的激进型模式，具体配置参数如下：

• 规模报酬类型：CCR 不变规模报酬
• 计算导向：分别验证投入导向与产出导向
• 交叉评价模式：激进型交叉效率（对抗式二级目标）
• 超效率模式：关闭
• 结果聚合方式：算术平均聚合

📌 交叉效率 DEA 参数配置界面

三、第一阶段自评效率的理论验证

交叉效率计算分为两个阶段：第一阶段求解各 DMU 的自评最优效率与对应权重，第二阶段在保持自身效率最优的前提下求解二级目标。第一阶段的准确性是整个模型可靠的基础。

3.1 投入导向自评效率验证

基于 CCR 投入导向乘子模型，各 DMU 的自评最优效率理论值与软件计算结果对比如下：

表格

理论推导验证：

• DMU2 为唯一 CCR 有效单元，构成生产前沿面，因此自评效率为 1。
• DMU1 的参考集仅包含 DMU2，根据包络模型，λ₂=8/9，投入缩减比例 θ=8/9，与软件结果完全一致。
• DMU5 投入规模为 DMU1 的 2 倍、产出完全相同，在不变规模报酬假设下效率为 DMU1 的 1/2，即 4/9，符合计算结果。

这一校验思路也可作为 DEA 结果异常排查方法的参考：当最终交叉效率出现异常时，可先验证第一阶段自评效率是否符合理论预期，再逐步排查二级目标规划与聚合规则的配置问题。

3.2 产出导向自评效率验证

产出导向下，效率值 φ 为投入导向的倒数，验证结果如下：

表格

可以看出，软件计算的产出导向自评效率与理论倒数关系完全吻合，证明第一阶段乘子模型的求解逻辑准确无误。

四、激进型二级目标规划的算法逻辑验证

4.1 经典算法依据

激进型交叉效率由 Doyle 与 Green 于 1994 年提出，核心思想是：在保证 DMU 自身效率达到最优值的约束下，选择一组权重使得其他所有 DMU 的平均效率最小化，从而形成最严苛的评价标准。

DEA Performance 软件中的实现严格遵循该经典框架：

1. 完整保留第一阶段的全部约束条件，确保权重可行域与第一阶段一致；
2. 新增等式约束，将自身效率固定为第一阶段的最优值，限定在最优权重集合内寻优；
3. 投入导向下以 “最小化其他 DMU 的加权产出总和” 为二级目标，产出导向下以 “最大化其他 DMU 的加权投入总和” 为二级目标，与分式规划线性化的标准处理方式完全一致；
4. 加入极小正则项保证最优解唯一，避免权重漂移导致结果波动。

4.2 算法合规性说明

从学术规范角度，该实现满足以下要求：

• 二级目标不破坏第一阶段的效率最优性；
• 所有 DMU 采用统一的评价规则，不存在差异化处理；
• 权重均保持非阿基米德无穷小下界，避免零权重导致的指标失效问题。

这也是专业 DEA 工具与简易实现的核心区别：规范的二级目标规划能够保证交叉效率结果的学术严谨性，满足期刊论文的发表要求。

五、最终交叉效率结果的合理性校验

5.1 最终结果对比

投入导向与产出导向下，软件输出的最终交叉效率结果如下：

表格

📌 结果展示：交叉效率结果数据表格

📌 结果展示：交叉效率柱状对比图

5.2 关键合理性验证

（1）前沿单元效率恒为 1

DMU2 是唯一的 CCR 有效单元，根据 DEA 互补松弛定理，所有 DMU 的最优权重都满足 DMU2 的效率约束为紧约束（效率值恒为 1）。因此在交叉评价矩阵中，所有评价主体对 DMU2 的评分均为 1，最终平均效率也为 1，与计算结果完全一致。

（2）投入与产出导向结果一致

两种导向下最终交叉效率完全相同，这一现象符合乘子模型的数学特性：投入导向与产出导向的最优权重呈严格比例关系，而交叉效率的计算形式为 “加权产出 / 加权投入”，权重同比例缩放时比值保持不变，因此交叉效率矩阵与最终聚合结果完全一致。

（3）规模报酬特性验证

DMU5 与 DMU1、DMU6 与 DMU2 分别满足 “投入翻倍、产出不变” 的 CRS 缩放关系，最终交叉效率也严格呈现减半关系（0.4213≈0.8426/2，0.5=1.0/2），完全符合不变规模报酬的理论特性。

（4）激进型的压低效应

对比自评效率与交叉效率可以发现，所有非有效 DMU 的交叉效率均低于其自评效率，这正是激进型模式的典型特征：通过对抗式二级目标压低其他单元的评分，整体评价标准更为严格，排名区分度更强。

六、结论

本文通过标准测试数据集，对 DEA Performance 软件中激进型交叉效率 DEA 模型的计算结果进行了全维度验证，得出以下结论：

1. 第一阶段自评效率与理论解析解完全一致，乘子模型求解准确无误；
2. 激进型二级目标规划严格遵循 Doyle-Green 经典算法框架，符合学术规范；
3. 最终交叉效率结果满足规模报酬特性、前沿单元特性与模式特性，数值逻辑自洽；
4. 投入导向与产出导向的计算结果符合数学对偶关系，逻辑严谨。

整体而言，DEA Performance 的交叉效率模块计算精度可靠，算法实现规范，能够为科研论文写作、实务绩效评价提供准确的分析支撑。后续我们也将持续对超效率交叉效率、仁慈型模式、加权聚合等更多功能进行验证，为用户提供更全面的参考。

DEA Performance 链接：https://pan.baidu.com/s/1ziQkmN9LmLDebUGBIolIyw?pwd=5802