16-SOFA_仿真背后的力学（总结）

1.AnimationLoop

回顾 SOFA 一个完整仿真需要哪些东西，首先需要 AnimationLoop。

它负责：决定一个时间步里面，各个计算步骤按照什么顺序执行，也就是：
当前时间 t
↓
AnimationLoop组织各项计算
↓
完成一个仿真时间步
↓
进入 t + dt

即使不写，也存在默认 AnimationLoop

<Node name="root" dt="0.01" gravity="0 0 0"> <DefaultAnimationLoop /> <DefaultVisualManagerLoop /> <Node name="myObject"> ... </Node> </Node>

默认情况下 SOFA 会提供一个 DefaultAnimationLoop。但仍然建议最好在场景里面明确写出来你要用哪个 AnimationLoop。
主要有两类：DefaultAnimationLoop 和 FreeMotionAnimationLoop

2.DefaultAnimationLoop 和 FreeMotionAnimationLoop

2.1.DefaultAnimationLoop

DefaultAnimationLoop

Collision detection（碰撞检测）
（主要对应 penalty response）
↓
Physics resolution（求解物理运动）
↓
AnimateVisitor + Update（更新状态）

2.2.FreeMotionAnimationLoop

先计算 free physics
↓
碰撞检测
↓
求解约束
↓
综合物理 + 约束/碰撞
↓
修正运动

FreeMotionAnimationLoop 的 Scene Graph 通常要更复杂，原因是它还需要 Constraint Solver 去真正求解约束。在碰撞问题里，它可以进一步求 接触力（contact forces）

• DefaultAnimationLoop
  → 普通物理仿真流程
• FreeMotionAnimationLoop
  → 自由运动 + 约束/接触求解

3.MechanicalObject 的 template

一定要注意 MechanicalObject 的 template。

因为 template 决定这个 MechanicalObject 中的自由度是什么类型

例如：

<MechanicalObject template="Rigid3d" name="myParticle" position="0 0 0 0 0 0 1" />

这里 Rigid3d 意味着它描述的是一个三维刚体自由度。所以position不只是三个坐标，还包括刚体姿态。

4.单个刚体不会形变

接着把问题缩小到 Single rigid body（单个刚体）。这里暂时不考虑铰接系统、多刚体、复杂角运动，只考虑一个刚体。

牛顿方程可以写：

其中：

• ：外力
• ：内力

但对于的这个理想单刚体，不讨论使物体内部发生形变的内部自由度。
所以重点是：外力刚体整体移动，但刚体不形变，
即 Rigid = no internal force = no deformation

可以用刚体的质心来描述它的整体平移运动。于是可以写：
其中是质心的位置。

4.1.牛顿记号（点记号）

是牛顿记号（点记号），专门用来对时间 t 求导：

所以等式直接等价： ∑F = mẍ ⇔ ∑F = ma

5.积分方案（integration scheme）

<MechanicalObject template="Rigid3d" name="myParticle" position="0 0 0 0 0 0 1" /> <UniformMass totalMass="1"/> <ConstantForceField totalForce="1 0 0 0 0 0" />

我们已经有：MechanicalObject + Mass + Force

从物理方程来看：似乎已经足够，但当时点 Animate，物体还是不会动。

因为当时缺了Integration scheme + Linear solver

其中最先缺的是：积分方案（integration scheme），因为还需要告诉计算机怎么从当前时间的状态算到。

Integration scheme 的作用就是完成：

这就是我们为什么一直需要 EulerImplicitSolver 之类的 ODE Solver，它告诉我们怎样从当前仿真状态进入下一状态。

6.积分方案分显式和隐式

计算这个力的时候，应该使用哪个时间点的？

6.1.Explicit——显式积分

显式方法使用已经知道的状态。例如,或者它们的某种组合。

只要使用 过去状态 或 当前状态 这些已经知道的值，就是显式方法。

Explicit：用已知状态计算力

优点：简单、计算效率高

缺点：通常要求很小的

比如，那么为了模拟，就需要个时间步。

所以单步虽然简单，但如果时间步必须特别小，整个仿真仍然可能很慢。

6.2.Implicit——隐式积分

另一种策略是，也就是：用下一时间步的位置计算力。

问题在于：现在还不知道。因此求解就变得更复杂。

Implicit：力依赖尚未求出的未来状态

优点：可以使用更大的时间步。

缺点：每一步要求解的数学系统更复杂。

方法	优点	缺点
Explicit	simple, efficient	requires a small
Implicit	allows larger	more complex system to solve

7.积分方案最终会产生线性系统

不论使用显式还是隐式，问题最终归结成：

注意这里的 x 不是前面 MechanicalObject 的位置 x 本身，这里是线性代数里：待求未知量。

这里用显式 Euler 举例。

，显式方法是在当前状态计算力。

7.1. 加速度写成速度变化

定义：

于是：

代回：

得到：

两边乘：

SOFA 中这里求的通常不是 acceleration，而是 velocity increment。

即不是直接把作为未知量，而是求

于是刚才的线性系统对应这个简单显式例子：

,,

8.区分 Integration Scheme 和 Linear Solver

Integration Scheme

例如：EulerExplicitSolver、EulerImplicitSolver

负责：把动力学方程整理成线性系统。

也就是决定是什么，是什么，以及未知量是什么。但是它不负责真正把解出来。

Linear Solver

真正负责求解的是 Linear Solver ，比如前面使用的 CGLinearSolver 。

ODE / Integration Solver
↓
建立 Ax = b
↓
Linear Solver
↓
真正求 x

9.Linear Solver 分两类

线性求解器大致有两类。

9.1.Direct Solver——直接求解器

思想接近：，也就是直接求精确解。可以理解为试图对矩阵做直接处理。

特点：精度高 / 求解直接；但可能计算成本高

9.2.Iterative Solver——迭代求解器

比如：CG = Conjugate Gradient = 共轭梯度法

它不是一次就得到答案，而是：先猜一个解算误差修正再算误差继续修正...

残差：，其中是当前第次迭代的解。
目标就是：，也就是不断减小的误差。

所以 CGLinearSolver 本质上就是通过迭代不断逼近 Ax=b 的解。

10.MeshLoader是被动组件

MeshLoader 是 passive component（被动组件）。它自己不会计算物理，它做的只是：
读取 mesh 文件
↓
读取点、边、三角形、四面体等信息
↓
把这些信息提供给场景

通常再连接 TopologyContainer 或其他 Mesh Topology 组件。

因此：MeshLoader ≠ 物理模型，它只是数据加载器。

11.仿真模型需要哪些东西

总结物理部分，前面加入过 Mass（UniformMass、MeshMatrixMass），External Force（ConstantForceField），Mechanical Constitutive Law（例如之前肝脏里的线弹性模型）

也就是：
MechanicalObject
+
Mass
+
Force / ForceField
+
Constitutive Model

构成基本机械模型。

假设已经有 MechanicalObject、Mass、Force 甚至已经有材料模型，但没有 Integration Scheme + Linear Solver，物体还是不会真正从推进到

Physics ≠ 完整可运行仿真，还需要数值求解部分：EulerImplicitSolver + CGLinearSolver

12.Mapping 把 representation 连起来

当从刚体例子进入之前的 Deformable Liver，场景开始增加其他 representation：Mechanical Model、Rendering Model、Collision Model

如果三种 representation 使用不同 Mesh：Mechanical Mesh、Visual Mesh、Collision Mesh，就需要 Mapping 连接它们。