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第191篇状态观测器——测不到的状态量怎么估计

news 2026/8/18 14:19:44

上篇讲了状态反馈和极点配置，核心思路是用u = -K*x把所有状态反馈回来，通过选择K把极点放到想要的位置。但有个前提：你得知道所有状态。

现实情况是，传感器又贵又有噪声。一个六自由度机械臂，关节角度可以用电编码器测，关节速度呢？直接微分角度信号噪声太大。关节力矩呢？得力矩传感器，一个就好几千。你不可能给每个状态变量都装一个传感器。

那怎么办？用能测到的量，结合系统的数学模型，把测不到的量"算"出来。这就是状态观测器干的事。

状态观测器在机器人领域太重要了。卡尔曼滤波本质上就是个观测器，SLAM里的状态估计、无人机的高度估计、机械臂的力估计，背后都有观测器的思想。面试的时候，观测器设计和极点配置是一对必考题。

全维观测器：把整个系统"复制"一遍

最简单的观测器叫Luenberger观测器，也叫全维观测器。思路特别直白：你在计算机里建一个系统的"副本"，让它跟着真实系统跑。

dx_hat/dt = A*x_hat + B*u + L*(y - C*x_hat)

x_hat是状态的估计值。前两项Ax_hat + Bu就是你的系统模型在"预测"状态怎么变化。关键是第三项L*(y - Cx_hat)——这是用实际测量值y和估计输出Cx_hat的差来修正估计。

L是观测器增益矩阵，决定了"我多相信测量值"。如果L选得好，估计误差e = x - x_hat会快速收敛到零。

把估计误差的动力学推导一下：

de/dt = (A - L*C)*e

看到了吗？估计误差的 dynamics 由矩阵(A - LC)决定。只要(A - LC)的特征值都在左半平面，误差就会指数衰减到零。

这跟状态反馈的形式(A - BK)是不是很像？没错，这就是对偶关系的体现。设计观测器增益L，本质上就是一个"极点配置"问题，只不过配的是(A - LC)的极点。

import numpy as np from scipy.signal import place_poles # 系统矩阵 A = np.array([[0, 1], [-2, -3]]) B = np.array([[0], [1]]) C = np.array([[1, 0]]) # 只能测位置 # 设计观测器：用对偶原理 # (A, C)的能观性等价于(A^T, C^T)的能控性 # 所以用place_poles配(A^T, C^T)的极点，得到L^T desired_observer_poles = [-10, -10] # 观测器极点比控制器快5倍 result = place_poles(A.T, C.T, desired_observer_poles) L_T = result.gain_matrix L = L_T.T print("观测器增益L:", L) # 验证 eigenvalues = np.linalg.eigvals(A - L @ C) print("观测器误差极点:", eigenvalues)

注意观测器极点一般要比控制器极点快3-5倍。为什么？因为观测器需要快速收敛——如果观测器收敛太慢，控制器拿到的状态估计不准，整个闭环系统的性能就差了。但也不能太快，否则测量噪声会被放大。工程上一般取控制器极点的3-5倍。

降维观测器：只估计测不到的那些状态

全维观测器估计所有状态。但你想想，有些状态你本来就能直接测量，何必再估计一遍？

降维观测器的思路就是：能测的状态直接用测量值，只估计那些测不到的状态。

假设系统有n个状态、m个输出，且输出直接就是某几个状态的测量值。那你只需要估计(n-m)个状态，观测器的维数从n降到(n-m)。

降维观测器在实际工程中用得很多。比如机械臂控制中，关节角度有编码器可以直接测，但关节速度需要估计。这时候你只需要一个一维的降维观测器来估计速度，而不是用全维观测器把所有状态都重新估计一遍。

降维观测器的设计稍微复杂一些，因为估计方程里会包含测量值的微分。工程上为了避免微分噪声，通常会做一些变换来消除这个项。面试的时候，降维观测器考得不多，但如果你能主动提出来，面试官会觉得你理解很深。

实际项目中，降维观测器用得比全维观测器更普遍。道理很简单——能直接测的量就别浪费算力去估计。一个四旋翼飞控，姿态用IMU直接测了，你只需要估计加速度或者外力扰动，降维观测器完全够用。

观测器在机器人中的实际应用

讲几个实际场景，帮你建立直觉。

无人机高度估计。无人机上有气压计测高度、IMU测加速度。气压计有漂移，IMU有积分误差。单独用哪个都不准。用观测器把两者融合：气压计提供长期准确的绝对高度，IMU提供短期精确的高度变化率。观测器融合两者，得到比任何单一传感器都准的高度估计。

这个场景其实就是卡尔曼滤波的经典应用。状态向量是[高度, 垂直速度]，气压计测量高度（但有慢漂移），IMU的加速度做积分得到速度。观测器（卡尔曼滤波）自动平衡两者的可信度：短期更相信IMU（响应快），长期更相信气压计（不漂移）。

机械臂速度估计。编码器测关节角度，采样周期内做差分得到速度。但差分会放大量化噪声，尤其在低速时噪声很大。用观测器从角度测量估计速度，可以在不引入噪声放大的前提下得到平滑的速度估计。很多开源机械臂固件里就是这么做的。

无传感器控制。有些场景下你连传感器都没有。比如低成本无人车用反电动势观测器来估计电机转速，完全不用编码器。PMSM无传感器控制就是这个思路——用电压电流的观测器反推转子位置和速度。

再讲一个调试观测器收敛性的真实案例。之前帮一个无人机团队调高度观测器，气压计和IMU数据融合，用Luenberger观测器。仿真里观测器误差50毫秒就收敛到零了，但实物上发现初始几秒高度估计值跳动非常厉害。排查发现两个问题：一是气压计数据有高频振动噪声（电机振动通过机架传导到传感器），观测器增益太大把噪声放大了；二是初始时刻气压计读数和真实高度有个固定偏差（开机时的大气压校准没完成），观测器需要时间来消除这个初始误差。最后解决方案是加了个低通滤波预处理气压计数据，同时观测器增益分阶段调整——前2秒用较小增益让估计值慢慢收敛，之后切到正常增益。这个经验说明观测器设计不能只看理论收敛速度，还要考虑噪声抑制和初始过渡过程。