第【48期】-- 通信问题的cvx教程之基础篇【一】-- MU-MIMO下行功率分配问题
1、最近有大量小伙伴在问关于通信领域里面CVX的代码编写问题，因此计划新开系列文章，讲解无线通信优化问题中关于MATLAB CVX工具的使用。
2、计划前期先写经典的简单通信问题的CVX求解以打实基础，后期再针对目前热门的通信方向，如RIS，NOMA，UAV，ISAC等方向的复杂非凸问题的近似迭代后的CVX求解。
3、本文为第一期，讲解MU-MIMO系统简单的功率分配问题的CVX代码，感兴趣的朋友后续可以点个关注后续追更。
- 博主往期所写热门文章：
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无线通信中的优化问题+matlab中cvx的使用心得
文章目录
- 1 引言：为什么需要凸优化工具箱（CVX）？
- 2 系统建模与问题表述
- 2.1 系统建模
- 2.2 优化问题
- 2.3 非凸转凸
- 3 CVX代码分析
- 3.1 CVX基础语法
- 3.2 CVX关键规则
- 3.3 第2.3小节的凸问题CVX求解
- 4 总结
1 引言：为什么需要凸优化工具箱（CVX）？
在无线通信系统设计中，我们经常遇到资源分配、波束成形、功率控制等核心问题。这些问题通常可以建模为带有约束的优化问题，而其中的许多都可以转化为凸优化问题（如线性规划、二次规划、二阶锥规划等）。
CVX 是一个专为凸优化设计的建模系统，它允许我们用接近数学公式的自然语法描述优化问题，并自动调用底层求解器（如 SeDuMi、SDPT3、MOSEK）进行求解。对于通信领域的研究生和工程师，CVX 是快速验证算法性能的首选工具。
本文将通过一个具体的多用户多输入多输出（MU‑MIMO）下行链路功率最小化例子，教学 CVX 的基本用法。从问题建模开始，一步步编写、调试并解读代码，最终绘制出结果曲线。
2 系统建模与问题表述
2.1 系统建模
2.2 优化问题
2.3 非凸转凸
两边同时开平方，得到:
因此得到标准的二阶锥约束（左侧是 2-范数，右侧是仿射函数）
再通过引入辅助变量tao，则等价凸问题形式为：
3 CVX代码分析
3.1 CVX基础语法
本小节讲解CVX语法基础，会的可以直接跳到3.3节。
CVX核心用法是构建一个“规范”，通过几个关键部分来定义优化问题。
- 框架：cvx_begin + 声明变量 + 目标 + 约束 + cvx_end
| 命令 | 作用 |
|---|---|
cvx_begin/cvx_end | 必须成对出现，包裹所有优化代码 |
quiet | 不显示求解过程信息，优化速度（加在cvx_begin后面） |
sdp | 启用半正定规划模式（处理矩阵半正定约束时使用） |
- 变量：用 variable 声明，用法如下表
| 代码 | 含义 |
|---|---|
variable x | 声明实数标量 |
variable x(n) | 声明 n 维实数向量 |
variable X(m, n) | 声明 m×n 实数矩阵 |
variable x(n) complex | 声明 n 维复数向量 |
variable X(m, n) complex | 声明 m×n 复数矩阵 |
variable x(n) nonnegative | 声明非负向量（x ≥ 0） |
variable X(n, n) symmetric | 声明实对称矩阵 |
variable X(n, n) hermitian | 声明复 Hermitian 矩阵（即 X = X^H） |
variable X(n, n) semidefinite | 声明半正定矩阵（X ⪰ 0） |
- 核心约束规则：整体约束必需为凸约束
3.2 CVX关键规则
CVX 不是任何数学表达式都能接受的。它要求整个问题必须是凸的。
规则1：目标函数必须符合凸性
minimize 后面的表达式必须是凸函数（如 norm、sum、quad_form）
maximize 后面的表达式必须是凹函数（如 log、geo_mean）
规则2：约束的左右结构有限制
（boyd的凸优化里面关于上镜图和下镜图有讲原因，感兴趣可搜）
| 约束类型 | 左侧要求 | 右侧要求 | 合法示例 | 非法示例 |
|---|---|---|---|---|
<= | 凸 | 凹 | norm(x) <= 1 | 1 <= norm(x) |
>= | 凹 | 凸 | 1 >= norm(x) | norm(x) >= 1 |
== | 仿射 | 仿射 | A * x == b | norm(x) == 1 |
常用函数的凹凸性：
| 类型 | 常见函数 | 说明 |
|---|---|---|
| 仿射 | +,-,*,/（常数除法）,real,imag,conj,trace,diag,sum,vec,reshape | 线性运算，既是凸也是凹 |
| 凸 | norm,norm(x, p),quad_form,sum_square,max，abs（实数），square,inv_pos,log_sum_exp | 可用于<=的左侧或minimize |
| 凹 | log,log_det,geo_mean,sqrt, | 可用于>=的左侧或maximize |
3.3 第2.3小节的凸问题CVX求解
先上代码：
clear;clc;K=4;%用户数 M=4;%基站天线数 sigma=1;%噪声标准差（噪声功率=1） num_realizations=10;%每个 gamma 值下的随机信道次数（可调，大一点更平滑）%定义要扫描的 gamma 范围（线性值） gamma_vec=0.5:0.5:4;%从0.5到8，步长0.5avg_power=zeros(size(gamma_vec));%存储每个 gamma 对应的平均功率fprintf('开始扫描不同 gamma 值...\n');forg_idx=1:length(gamma_vec)gamma=gamma_vec(g_idx);power_sum=0;valid_count=0;forz=1:num_realizations H=randn(K,M);%随机信道 cvx_begin quiet variable tau nonnegative variableW(M,K)complexminimize(tau)subject tofori=1:K%SINR 约束（含噪声）norm([H(i,:)*W,sigma])<=sqrt(1+1/gamma)*real(H(i,:)*W(:,i));%强制接收信号为实数且非负imag(H(i,:)*W(:,i))==0;real(H(i,:)*W(:,i))>=0;endnorm(vec(W))<=sqrt(tau);cvx_end%检查求解状态，只累加成功求解的结果ifstrcmp(cvx_status,'Solved')power_sum=power_sum+tau;valid_count=valid_count+1;else%若不可行，忽略该次实现（或可记录失败次数）%fprintf('gamma = %.2f, 第 %d 次不可行\n',gamma,z);end endifvalid_count>0avg_power(g_idx)=power_sum/valid_count;fprintf('gamma=%.2f,有效次数=%d,平均功率=%.4f\n',gamma,valid_count,avg_power(g_idx));elseavg_power(g_idx)=NaN;%若全部不可行，置 NaNfprintf('gamma = %.2f, 无可行的信道实现！\n',gamma);end end%绘图：gamma vs 平均最小发射功率 figure;plot(gamma_vec,avg_power,'b-o','LineWidth',2);xlabel('SINR 门限 \gamma (线性值)');ylabel('平均最小发射功率 (||W||_F^2)');title(['M=',num2str(M),', K=',num2str(K),', 噪声功率 \sigma^2=',num2str(sigma^2),...', 每个\gamma下随机信道次数=',num2str(num_realizations)]);grid on;解释如下：
- 这里信道，噪声并没完全按照通信的要求来，随便给了一个数值，只为体现cvx的用法；
- 约束和目标函数的写法和第二章的理论完全一致；
- 为了克服信道随机性的影响，对同一个横坐标，多次进行随机信道，取结果的平均值以克服随机性的影响。（通信论文里面常用，也叫蒙特卡洛仿真）；
- CVX代码讲解其实蕴含在理论解释部分以及代码注释部分，这里不再赘述了。
仿真如图：模拟不同SINR要求下的最小功率的变化，SINR要求越高，系统的总发射功率就越大，且增长率也越大，符合物理意义。
4 总结
- 写了很多年的CVX了，其实感觉不太好用，很多时候理论本身没问题，但是受限于数据的精度或者CVX要求的DCP规则，导致代码仿真出现异常，特别是涉及到迭代的的收敛性很难控制。奈何通信领域用传统凸优化主流还是得用matlab的CVX工具，所以没办法得学。
- 最近发现了一个叫AMPL的编程，也能够用来求解凸优化问题，我用了一段时间，感觉比CVX好用点，感兴趣也可留言后续会写学习笔记出来。
- 通信优化问题路漫漫其修远兮~