高光谱成像的噪声估计

1. 差分类方法（Difference-based Methods）#

差分类方法的核心思想是：利用邻域像素之间的差值来削弱真实信号，从而突出噪声成分。
展开来说，在自然图像或高光谱图像中，真实信号通常具有一定的空间连续性，相邻像素之间变化较为平滑。而噪声往往是随机波动的，因此，对相邻像素进行差分运算时，信号部分往往会相互抵消，而噪声则会被保留下来。

在诸多方法中，这类方法的优点是实现简单、计算效率高。
但与此同时，差分法依赖一个重要假设：相邻像素之间的真实信号变化较小。当图像中存在明显的边缘或纹理结构时，差分结果会混入真实信号变化，从而导致噪声被高估。
而且，差分法只利用局部空间信息，而没有利用高光谱数据中波段之间的相关性，也让其在复杂任务中稍显逊色。
因此，这类方法更适用于图像变化较平滑的场景，作为一种快速、基础的噪声估计手段。

差分类方法中最简单的就是我们在上一篇中使用的单向空间差分（Spatial Difference）：

�^=�(�,�)−�(�+1,�)

其利用相邻像素之间的简单差值来估计噪声。

而在此基础上一种简单的改进方法是使用双向差分（Bidirectional Difference）。
在刚刚的空间差分中，我们只在一个方向上进行差分，但实际上，图像结构可能在某个方向上变化较大，如果只使用单一方向的差分，可能会把真实信号变化误当成噪声。
因此，可以同时在水平和垂直方向进行差分：

�^ℎ=�(�,�)−�(�+1,�)

�^�=�(�,�)−�(�,�+1)

然后再将两个方向的差分结果进行统计，例如计算整体方差，从而得到更加稳定的噪声估计。

还没完，在此基础上，还可以进一步扩展为多方向差分（Directional Difference）:
这种方法不仅考虑水平和垂直方向，还会加入对角线方向的差分，例如：

�^�=�(�,�)−�(�+1,�+1)

�^�2=�(�,�)−�(�+1,�−1)

这样就可以在多个方向上估计噪声，然后将这些差分结果综合起来进行统计分析。
多方向差分可以进一步降低图像中边缘、纹理等局部结构变化对噪声估计造成的干扰，从而获得更加可靠的估计结果。

我们用一个简单的实例来进行演示：
接下来我们利用这些像素，通过不同的差分方式构造噪声样本。
假设有四个相邻像素：、、、、、、�1、�2、�3、�4，它们在空间中的位置如下：

�1�2�3�4

其中，每个像素都是一个3 维光谱向量（3 个波段）:

�1=[100,50,30]�2=[102,52,31]

�3=[101,49,29]�4=[103,51,30]

现在，在这个 2×2 的邻域中，竖直方向可以得到两组相邻像素：

• 第一列：�1 与 �3
• 第二列：�2 与 �4

因此计算它们的差分：

�1=�1−�3=[100,50,30]−[101,49,29]=[−1,1,1]

�2=�2−�4=[102,52,31]−[103,51,30]=[−1,1,1]

可以看到，每一次像素差分都会得到一个3 维噪声向量。
接下来，我们将这些差分结果按行堆叠，构造噪声样本矩阵：

�=[−111−111]

在这个矩阵中：每一行就表示一个噪声样本，每一列就表示一个波段的噪声值。

现在，我们都得到了使用单向差分构造的噪声样本矩阵，下一步，我们就在此基础上使用双向差分来看看：
在双向差分中，我们不仅考虑竖直方向，还要加入水平方向的差分。
因此我们继续计算水平方向差分：

�3=�1−�2=[100,50,30]−[102,52,31]=[−2,−2,−1]

�4=�3−�4=[101,49,29]−[103,51,30]=[−2,−2,−1]

可以看到，水平方向同样得到了两个 3 维噪声样本向量。接下来，我们将竖直方向和水平方向得到的噪声样本统一堆叠，构造新的噪声样本矩阵：

�=[−111−111−2−2−1−2−2−1]

可以看到，相比单向差分，双向差分产生了两倍数量的噪声样本。
因此，我们获得了更多的噪声观测数据，从而能够得到更加稳定的噪声统计结果。

最后，我们进一步加入对角线方向的差分：

�5=�1−�4=[100,50,30]−[103,51,30]=[−3,−1,0]

�6=�2−�3=[102,52,31]−[101,49,29]=[1,3,2]

我们将得到的噪声样本统一堆叠，构造完整的噪声样本矩阵如下：

�=[−111−111−2−2−1−2−2−1−3−10132]

你会发现，通过在多个方向上构造差分，我们不仅能够获得更多的噪声观测数据，还可以降低图像中某一特定方向结构变化对噪声估计造成的影响，从而得到更加稳定和可靠的噪声统计结果。

2. 统计类方法（Statistics-based Methods）#

统计类方法的核心思想是：利用图像局部区域的统计特性来估计噪声强度。
这类方法同样基于一个基本假设：在较小的空间窗口内，真实信号变化相对缓慢，因此像素之间的差异主要来源于噪声。如果能够在图像中找到变化较平缓的区域，那么该区域内像素的统计波动就可以用来估计噪声强度。

从思想上来看，这类方法与前面介绍的差分类方法有一定相似之处：二者都依赖于“局部区域内真实信号相对稳定”的假设。不同之处在于，差分法通过计算相邻像素之间的差值来显式削弱信号，而统计类方法则是通过分析局部像素分布的统计特性（如方差）来间接估计噪声水平。
在实际应用中，统计类方法通常会在图像上使用滑动窗口计算局部统计量，或者筛选出方差较小的平滑区域进行估计，因此相比简单差分方法往往具有更好的稳定性。
但它也同样有其缺陷，统计类方法对窗口尺寸的选择敏感，过小窗口可能无法充分反映噪声统计特性，过大窗口又可能引入更多信号变化，对估计精度产生影响。
同时，对于非平稳噪声，其适应性也较差。

因此，这类方法同样适用于信号变化较平缓、平滑区域丰富的图像，作为一种稳健的噪声估计手段，适合需要对每个波段分别评估噪声强度的高光谱图像。

最常用的统计方法是局部方差估计（Local Variance Estimation）。
其基本步骤通常如下：

1. 在图像中选取一个局部窗口，例如 5×5 或 7×7。
2. 计算窗口内像素的均值。
3. 再计算窗口内像素相对于均值的方差，并将其作为噪声强度的估计。

其思想也比较好理解：假定某个区域的像素属于同一个分类，那么像素值本应接近一致，因此局部像素的波动（方差）主要来源于噪声，这样就可以用方差来量化噪声强度。

在此基础上，还可以进一步进行改进。例如，一些方法会在整幅图像中滑动窗口，计算大量局部方差，然后选择方差最小的一部分区域作为噪声估计的依据。
这是因为方差较小的区域通常对应信号变化较平滑的背景区域，因此更接近真实噪声水平。

同样来看一个实例：
假设在某个局部窗口中，我们观测到5 个像素，每个像素包含3 个波段，数据如下：

�=[100503010252311014929995130985031]

首先，计算每个波段的均值向量：

�¯=15∑�=15��=[100,50.4,30.2]

然后，将每个像素与均值向量的差值构成偏差矩阵：

Δ=�−�¯=[0−0.4−0.221.60.81−1.4−1.2−10.6−0.2−2−0.40.8]

接下来，计算噪声协方差矩阵：

��=15Δ�Δ=[20.40.40.41.120.560.40.560.72]

现在，我们得到的局部协方差矩阵就可以直接用于 MNF 白化步骤。
而如果我们选择了多个局部窗口，得到的多个协方差矩阵也只需要取平均聚合后，就可以应用于 MNF。

此外，除去使用方差之外，也存在使用标准差、绝对偏差、最小二乘拟合残差或 robust 方差的形式，但只是所求统计量的不同，其基本逻辑仍是一样的。

3. 回归类方法（Regression-based Methods）#

回归类方法的核心思想是：通过建立像素或波段之间的预测关系，将预测残差视作噪声，从而进行噪声估计。
与前两类方法相比，回归类方法不仅利用局部空间信息，还可以利用高光谱数据中波段间的相关性，因此在多波段高光谱图像中往往更加精确。
在不考虑计算成本、只追求噪声估计精度的情况下，回归类方法是目前高光谱领域最权威、精确的噪声估计方法。

回归类方法常见做法如下：

1. 对目标波段建立回归模型，用相邻像素或其他波段进行预测。
2. 计算预测残差，将残差作为噪声样本。
3. 对整个图像或多个像素重复该过程，得到噪声估计矩阵或协方差矩阵，可直接用于 MNF 白化或噪声分析。

对这类方法，我们需要先补充一部分理论基础：
首先，高光谱图像的波段间是高度相关的：高光谱图像的每个像素都有多个波段，这些波段的光谱响应往往是连续且相关的。比如对于植被像素，红边波段和近红外波段的值之间存在一定的线性或非线性关系。
一般来说，高光谱图像中波段距离越近，相关性越强。但噪声是设备误差等原因产生的，它通常在各个波段中是随机的。

因此，当我们选取波段相近的几个邻居，用回归模型去预测一个波段的真实信号，再计算观测值与其的残差，得到的不符合预测模式的波动，我们就认为这是噪声。

同样来看一个例子：
假设某像素在三个波段的观测值为：

�=[100,50,30]

此时，我们希望估计波段 3 的噪声。就可以利用波段 1 和波段 2 的值建立一个线性回归模型：�^3=�⋅�1+�⋅�2+�在图像中选取多个像素，利用最小二乘法或其他回归方法求解参数 �,�,�。得到预测值，我们假定如下：

�^3=28

下面，我们将实际观测值与预测值相减，就能得到残差：

�=�3−�^3=30−28=2

这个残差 �=2 就可以作为该像素在波段 3 上的噪声样本，对图像中多个像素重复上述过程，就可以得到整幅图像波段 3 的噪声样本向量。

如果对每个波段都建立类似回归模型，得到各波段的残差向量，就可以构造完整的噪声样本矩阵 �：

�=[�1(1)�2(1)�3(1)�1(2)�2(2)�3(2)⋮⋮⋮�1(�)�2(�)�3(�)]

其中每一行表示一个像素的残差，每一列表示一个波段的噪声样本。然后就可以进一步计算噪声协方差矩阵。
回归类方法利用波段间的相关性，可以得到更精确的噪声协方差矩阵，从而在后续的 MNF 或噪声白化处理中提供可靠的噪声信息，是目前公认的高精度噪声估计方法。
在目前的高光谱噪声估计领域，研究重点也大都集中在改进回归模型精度、引入非线性或多变量预测策略，以进一步提高噪声估计的可靠性上。

4.总结#