再论数集相等概念凸显初等数学有几百年重大错误：将无穷多前所未知的伪x轴误为x轴

再论数集相等概念凸显初等数学有几百年重大错误：将无穷多前所未知的伪x轴误为x轴

黄小宁

医学若将前所未知的病毒误为熟悉的感冒病毒，后果…；数学将前所未知的无穷数（点）集误为熟悉的无穷集就使康脱推出错上加错的更重大错误：无穷集可～其真子集。发现百年无穷集论是危害极大的谬论，是数学发展史上的伟大觉醒。

知道什么是一一对应就能知道什么是一一对应相等。数集相等的定义：若A（B）各元x（y）有与之对应相等的元y（x）∈B（A）即A各元与B各元可一一对应相等：x↔y=x（恒等对应、变换）则称A=B。集各元x变回自己称为集的恒等变换，A各元x变为y=x（y≈x）是A的恒等（近似恒等）变换。本文的关键论据：若A与B是同一集则A必能恒等变换地变为B=A，即必可有：x↔y=x，亦即A作恒等变换得到的集B必=A。恒等变换是保序变换。

R各元x=h与各对应数y=2x=h一一对应相等：x=h↔y=2x=h，但要注意箭头两边的x不是同一x，此x=h，彼x=h/2。各元x=h变为y=2x=h是恒等变换，而各元x=h变为2倍于x的y=2x=2h不是恒等变换。元为x的A作恒等变换得到的集B的元y必是y=x∈A，若某集W各元y不可是y=x∈A而是2倍于x的y=2x（x∈A）等等则说明A作恒等变换得到的集B不能=W。设a=｛x｝表示a是元为x的集，其余类推。R一切整数x=±n组成无穷且“无界”的Z，Z各元x=±n的保序对应数1.1x的全体记为E，Z各元x与E各元1.1x一一保序对应：x↔1.1x（箭头两边的x是同一x），显然Z各元x只能与各保序对应数1.1x=x+0.1x中的x一一对应相等而与各1.1x本身不能一一对应从而使E≠Z。同样R各元x的保序对应数y=1.1x的全体R′=｛y｝≠R（——说明R′是数学前所未知的数集），道理非常简单：R各元x只能与各对应数1.1x=x+0.1x中的x一一对应相等而与各1.1x本身不能一一对应相等。所以“R′=R”这一流传几百年使世人深信不疑的中学函数“常识”其实是将前所未知的假R误为R的肉眼直观错觉。

R可几何化为R轴。与x∈R相异（等）的实数均可表为y=x+δ（增量δ可=0也可≠0）。各x可变换为实数y=kx（k是正常数），因各实数x、y都可是一维空间“管道”g内的点的坐标所以R各元x保序变为y=1.1x组成元为y的R′的几何意义可是R轴即x轴各元点x沿x轴方向保序平移变为点x+δ=y=1.1x形成元为点y的y轴附着在x轴上。x轴各元点x与y轴各元点y=1.1x一一保序对应：点x↔点y=1.1x（箭头两边的x是同一x），x轴各点x与y轴各点y=1.1x只能一一保序对应而不能一一对应相等说明y轴≠x轴——说明y轴是数学前所未知的数轴。然而自有函数概念几百年来数学一直有现在的中学“常识”：x轴=y轴。

空间点集A各元点运动后还回到原位置称为A的恒等变换，A变为B，若A=B则A必能恒等变换地变为B=A。数集可几何化为一维空间中的点集。一维空间中：点集A的所有放大、缩小变换（这是保序变换）都可由放缩变换式：A各元点x↔点y=kx（↔两边的x是同一x，放缩系数k是正常数）表示，显然当且仅当k=1时才能是恒等变换（k约等于1时是近似恒等变换）即当且仅当k=1时各点x与各保序对应点kx才能一一对应相等从而使放缩变换前、后的点集是同一集。所以有

h定理：任何空间直线沿本身作不保距的均匀伸缩（放缩）变换都不是变回自己的变换——推翻2300年直线公理。

平面是直线集，将无穷多各异直线误为同一线自然就会将无穷多各异平面误为同一面；平面运动可生成三维空间，将无穷多各异平面误为同一面自然就会将无穷多各异三维空间误为同一空间。

直线由直线段组成，将两异直线误为同一线自然就会将两异直线段误为同一线段从而使数学有“常识”:直线段u沿本身均匀压缩变短为直线段v～u必是u的真子集；进而使康脱推出错上加错的更重大错误：直线段u的全部点可与部分点一样多。