线性代数（六）列空间和零空间

前篇文章给出了向量子空间的的定义，本篇来进一步讨论一些形式的向量子空间。

取两个子空间P和L，P构成平面，L构成直线，讨论两种情况：

1.P和L的并集，能构成子空间吗？显然不能，因为P空间内的向量和L空间内的向量进行线性组合，结果未必都在P和L上

2.P和L的交集，能构成子空间吗？显然是可以的。P空间和L空间的交集上的向量进行线性组合，结果一定还在这个交集上。

下面讨论列空间。

给定矩阵，将其列向量做任意线性组合，将得到一个空间的子空间，称之为A的列向量空间。

将其和方程组结合起来解释，观察是否对任意b都有解？

，方程左侧可以看成对三个列向量进行任意线性组合，显然这种线性组合无法囊括整个思维空间，因此该方程并不是总有解。

那么b向量满足什么条件下，方程才有解呢？

显然我们可以给定x，来组合出b，这样是一定有解的，这等价于说当b向量是A中列向量的线性组合时，方程有解；或者说，b在A的列向量空间内，方程有解。

还可以观察到，矩阵A中的第三列等于第一列+第二列，因此实际上主列只有第一、二列；则矩阵A的列向量空间的一个二维子空间。

当b=0时，解的情况如何呢？

显然0向量是该方程的一个解。并且很容易看出，有解的情况还可以表示为：

显然可以通过张成一个空间的子空间，该子空间称为矩阵A的零空间。该子空间实际上是一条直线，且该空间满足对向量的数乘封闭和加法封闭。

继续讨论，如果当b不为0的情况，如：

那么此时方程的解还能张成子空间吗？显然不行，因为零向量不包含于解向量内，不满足定义子空间最基本的条件。此时所张成的“空间“实际上是一条挖掉了原点的直线。