通过 RC 放电电路，看见自然选择的数字：e

通过 RC 放电电路，看见自然选择的数字：e

在 RC 放电电路中，我们总会看到这样的公式：

很多人会好奇：为什么偏偏是 e？它是怎么"长"出来的？

这并不是数学家强行塞进去的结果，而是：

从 KCL 出发，用元件本身的物理规律，一步步推到微分方程，再用最基础的积分和指数运算，自然冒出来。

本文就用放电电路做主线，从电路基础一步步算到，然后顺带看看：类似的指数行为，在自然界里还有多少"亲戚"。

一、RC 放电电路：从 KCL 开始

先看一个最基本的放电电路： 在时刻前开关一直处于闭合状态，，系统整个状态稳定，此时，C电容两端电压

在开关打开瞬间，电压保持，此时

• 电容，在时电压为
• 电阻，与电容串联
• 放电时刻起，电容通过电阻向地放电
• 节点电压记为

示意图可以想象为：电容与电阻串联，电容上端节点电压为，电阻下端接地。

取电容与电阻连接处为节点，写 KCL。约定：从节点流出的电流为正，则：

1. 电阻支路电流

电阻两端电压为，下端接地：

2. 电容支路电流

电容电流与电压的关系是：

这里的是电容值，我们后面不会再让任何"积分常数"也叫，避免混乱。

把两个电流表达式代回 KCL：

整理，把导数项单独放一边：

两边同除以：

到这里为止，我们只用了：

• KCL
• 欧姆定律
• 电容电流公式

完全是“电路基础”，还没出现任何指数或对数。

二、变量分离：为积分做准备

从上面的微分方程：

把含的量挪到左边，含的挪到右边：

这一步叫变量分离，目的是为了：

左边只对积分，右边只对积分。

三、关键一步：为啥变成？

接下来，我们对两边积分。这里可以直接做定积分，把初始条件写进去。

在时，电容电压为：

在任意时刻电压为，于是：

这时用到一个非常基础的高中数学知识（可以在文章里点名说清楚）：

💡数学结论（高中水平）：

以及

也就是说：

• 的导数是
• 的积分就是（加上常数）

所以左边的定积分：

右边的定积分很简单：

于是有：

把对数合并一下：

到这里为止，我们是：

• 从电路方程出发
• 通过变量分离
• 用高中知识：

自然得到一个对数方程。

四、取指数：在这里被"请出来"

有了：

我们想把 "" 去掉，就要用它的反函数——以为底的指数函数。也就是说，对两边做同样的运算：取的指数：

左边根据