19、特征值、特征向量与蒙特卡罗模拟方法解析

特征值、特征向量与蒙特卡罗模拟方法解析

1. 特征值与特征向量相关计算

在矩阵运算中，求解特征值和特征向量是重要的基础操作。下面将介绍通过反射进行 QR 分解以及将矩阵转换为 Hessenberg 形式的方法。

1.1 通过反射进行 QR 分解

设矩阵 (A)，可以通过一系列反射操作将其分解为 (A = QR) 的形式，其中 (Q) 为正交矩阵，(R) 为上三角矩阵。具体步骤如下：
- 首先，找到反射 (U_1)，它能将矩阵 (A) 第一列的第 2 到 (n) 个元素置为 0，得到 (A_1 = U_1A)，此时 (A_1) 的形式为：
[A_1 =
\begin{bmatrix}
a’{11} & a’{12} & \cdots & a’{1n} \
0 & a’{22} & \cdots & a’{2n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
0 & a’{n2} & \cdots & a’{nn}
\end{bmatrix}
]
- 接着，找到反射 (U_2)（垂直于 (w_2)），将 (A_1) 第二列的第 3 到 (n) 个元素置为 0，得到 (A_2 = U_2A_1)。由于 (w_2) 的第一个分量为 0，所以 (U_2) 作用于 (A_1) 时，(A_1) 的第一列不变，(A_2) 的前两列的下三角部分被置为 0。
- 以此类推，继