13、量子行走中的极限分布与混合时间

量子行走中的极限分布与混合时间

1. 引言

在量子行走的研究中，极限分布和混合时间是非常重要的概念。极限分布描述了量子行走在长时间演化后所处状态的概率分布，而混合时间则衡量了量子行走达到这种极限分布的速度。本文将详细探讨在不同图结构（如循环图、超立方体和有限晶格）中的极限分布，并介绍分布之间距离的概念。

2. 极限分布的通用公式

利用完备性关系，我们得到极限分布 $\rho(v)$ 的表达式为：
[
\rho(v) = \sum_{a,a’=0}^{d - 1} \sum_{\vec{k},\vec{k}’ = 0}^{N - 1} \left{ \begin{array}{l} \alpha_{a,\vec{k}} = \alpha_{a’,\vec{k}’} \ \end{array} \right. c_{a,\vec{k}} c_{a’,\vec{k}’}^* \langle \alpha_{a’,\vec{k}’} | \alpha_{a,\vec{k}} \rangle \langle v | \psi_{\vec{k}} \rangle \langle \psi_{\vec{k}’} | v \rangle
]
这个公式将用于计算偶数循环、二维晶格和超立方体中的极限分布。

3. 循环图中的极限分布

3.1 特征值与特征向量

对于 Hadamard 硬币，演化算符的特征值为：
[
\alpha_{0,\vec{k}} = e^{-i\varphi_k}
]
[
\alpha_{1,\vec{k}} = e^{