12、量子行走的极限分布与混合时间解读

量子行走的极限分布与混合时间解读

1. 引言

在有限量子系统中，时间演化存在准周期模式，这阻碍了其收敛到极限分布。不过，我们可以通过定义平均概率分布这一概念，来探索量子行走的极限分布和混合时间。平均概率分布随机演化，且不具有准周期行为，为我们分析量子行走提供了新的视角。

2. 图上的量子行走

• 图的基本概念：考虑一个具有 $N$ 个顶点、度为 $d$ 的有限正则图。与该图上量子行走相关的希尔伯特空间为 $H = H_d \otimes H_N$，其中 $H_d$ 是硬币空间，$H_N$ 是位置空间。计算基是向量集 ${|a, v\rangle, 0 \leq a \leq d - 1; 0 \leq v \leq N - 1}$，顶点标签 $v$ 表示行走者可能访问的位置，边标签 $a$ 表示从顶点 $v$ 出发的可能方向。
• 演化算子：标准量子行走的演化算子为 $U = S(C \otimes I)$，其中 $C$ 是硬币算子（必须是酉算子），$S$ 是移位算子。移位算子通常定义为 $S|a, v\rangle = |a, w\rangle$，这里 $w$ 是通过标签为 $a$ 的边与 $v$ 相邻的顶点。
  • 不同类型的移位算子：
    • 一般移位算子：连续应用 $S$（不应用硬币）时，对于直线，不存在 $m$ 使得 $S^m = I$，行走者会一直远离；对于 $N$ 循环，最小的 $m$ 使得 $S^m = I$ 的值为 $m = N$，行走者在 $N$ 步后