54、泛函分析中的弱收敛、闭子空间与希尔伯特空间

泛函分析中的弱收敛、闭子空间与希尔伯特空间

1. 弱序列收敛

在测度空间 $(X, M, \mu)$ 中，对于 $1 \leq p < \infty$，设 $p$ 和 $q$ 为共轭指标。若函数序列 ${f_n}$ 满足 $|f_n - f|_p \to 0$，即 $\int_X |f_n - f|^p d\mu \to 0$，则称 ${f_n}$ 依 $L^p(\mu)$ 范数收敛于函数 $f$。不过，在实际应用中，我们常常需要处理一种更弱的收敛形式。

定义：若对于所有的 $g \in L^q(\mu)$，都有 $\int_X f_n g d\mu \to \int_X f g d\mu$，则称函数序列 ${f_n}$ 在 $L^p(\mu)$ 中弱收敛于函数 $f$。通过定理 13.19 可知，这等价于对于 $L^p(\mu)$ 上的所有连续线性泛函 $\Gamma$，都有 $\Gamma(f_n) \to \Gamma(f)$。

弱收敛的一个重要应用在于紧致性论证。在 $L^p(\mu)$ 中，一个有界序列可能不存在依范数收敛的子序列，但如果我们接受弱收敛，就可以找到收敛的子序列。

定理（弱序列紧致性）：假设 $(X, M, \mu)$ 是 $\sigma$-有限测度空间，$1 < p < \infty$，且 $L^q(X, M, \mu)$ 是可分的（其中 $q$ 是 $p$ 的共轭指标）。若函数序列 ${f_n}$ 满足 $|f_n|p \leq M$（$M$ 为常数），则存在函数 $f \in L^p(\mu)$，使得 $|f|_p \le