33、自旋 - 轨道耦合与氦原子能量分析

自旋 - 轨道耦合与氦原子能量分析

1. 自旋 - 轨道耦合与原子核壳层模型

1.1 狄拉克方程与氢原子能量

狄拉克方程具有相对论属性，其解得出的氢原子量子化能量必然包含源于电子自旋的项。狄拉克方程能量本征值的精确表达式为：
[E_{nj} = m_ec^2\left(1 + \frac{(Z\alpha)^2}{\left[n - \left(j + \frac{1}{2}\right) + \sqrt{\left(j + \frac{1}{2}\right)^2 - (Z\alpha)^2}\right]}\right)]
将其展开（(z = 1)）可得：
[E_{nj} = m_ec^2 + E_n^{(0)} + \frac{\alpha^2}{n^2}E_n^{(0)}\left(\frac{n}{j + \frac{1}{2}} - \frac{3}{4}\right) + \cdots]
其中，第三项与精细结构修正项相同。由于狄拉克哈密顿量未展开求精确能量本征值，无法确定各项源于相对论动能、自旋 - 轨道还是达尔文修正。且狄拉克方程精确解的能量本征值具有相对论性质，无法区分单个物理相互作用。自旋 - 轨道项在极限情况下会归结为达尔文项，它们都源于相对论。此外，狄拉克方程精确解得到的氢原子本征值不包含兰姆位移和超精细结构效应，且这些能量修正比(\alpha^4E_n^{(0)})大，因此计算上述展开式其余项价值不大。

1.2 原子核中的自旋 - 轨道耦合

自旋 - 轨道相互作用并非仅限于原子中的电子。在原子核中，自旋 - 轨道相互作用导致核能级间隔，从而产生幻数。直到(n = 3)能级，无需打破简并来