44、天气参数预测：回归模型与神经网络方法

天气参数预测：回归模型与神经网络方法

1. 多项式回归模型

1.1 基本原理

当因变量和解释变量之间的关系呈曲线时，可使用多项式回归模型，它能用多项式来表示这种关系。例如，在温度预测中，图中黑线表示 12 小时的温度读数，红色虚线表示三次回归直线，可用于预测下一次的温度读数。

对于单变量的 $n$ 阶多项式可表示为：
[y = \beta_0 + \beta_1x + \beta_2x^2 + \cdots + \beta_nx^n + \epsilon]
其中：
- $y$：因变量的预测值
- $\beta_0$：$y$ 轴截距（当所有其他参数设为零时 $y$ 的值）
- $\beta_1$：自变量一次方的回归系数
- $\beta_n$：自变量 $n$ 次方的回归系数
- $\epsilon$：模型误差，即 $y$ 估计值的变化

多项式回归模型可以用矩阵形式表示，通过普通最小二乘法（OLS）和 QR 分解来估计回归系数。

1.2 操作步骤

多项式回归模型的操作步骤如下：
1. 根据公式（7.7），从第一个自变量数组（double [] var1）生成设计矩阵，其中有一列全为 1 用于表示 $Y$ 轴截距。
2. 从第二个自变量（double [] var2）创建响应数组。
3. 使用设计矩阵和输出向量创建OLSMultipleLinearRegression模型。
4. 使用 QR 分解计算最小二乘解