10、一维含时状态的深入剖析

一维含时状态的深入剖析

1. 谐振子的动量本征函数

在量子物理中，谐振子是一个非常特殊的问题。之前已经求解了谐振子势 $U (x) = \frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}$ 的定态薛定谔方程（TISE），得到的波函数是坐标空间波函数 $\psi (x)$，而非动量空间波函数 $\varphi (p)$。

TISE 可写为：
[
\left(\frac{\hat{p}^{2}}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}\right)\psi (x) = E\psi (x)
]

由于坐标 $x$ 和动量 $p$ 在 TISE 中出现的幂次相同，且有算符关系 $\hat{p} \to \frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}$ 和 $x \to -\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dp}$，可知动量和坐标能量本征函数具有相同的一般形式。

坐标空间的本征函数为：
[
\psi_{n} (x) = \left(\frac{1}{2^{n}n!}\right)^{\frac{1}{4}}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{\frac{1}{4}}H_{n}\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\right)e^{-\frac{m\omega x^{2}}{2\hbar}}
]

通过将 $x$ 替换为其在 $p$ 空间的算符等价形式，可得到谐振子的动量本征函数：
[
\varphi_{n} (p) = \left(\frac{1}