10、平滑伪微分海森堡表示：量子物理的深入探索

平滑伪微分海森堡表示：量子物理的深入探索

1. 引言

在量子物理的研究中，我们关注的是当物理状态在时间上保持不变时，伪微分（ψdo）可观测量的时间依赖性。我们特别关注在加权索伯列夫空间的一致算子范数下，可观测量对时间 (t) 的“平滑”依赖。像指数算子 (e^{-iHt})（对于时间无关的 (H)），或者更一般地，(H(t)) 的演化算子 (U(\tau, t))，在强算子拓扑下甚至不是连续的，它们只是“强连续”的。

平滑性对 ψdo 的符号 (a(x, \xi)) 提出了严格条件，许多可观测量无法满足这一条件，这些被排除的可观测量会经历某种“颤动”（Zitterbewegung）。

具有平滑海森堡表示的可观测量与“精确可预测可观测量”密切相关。所有精确可预测可观测量可以通过以下方式找到：从一个与哈密顿量 (H) 的符号 (h(x, \xi)) 对所有 (x, \xi) 都可交换的符号 (q(x, \xi)) 出发，进行一系列低阶修正 (z_1(x, \xi), z_2(x, \xi), \cdots) 的迭代构造，并将它们加到 (q(x, D)) 上，最后再加上一个阶为 (-\infty) 的修正 (z_{\infty}(x, \xi))，得到符号 (a(x, \xi) = q + \sum_{1}^{\infty} z_j + z_{\infty})，使得自伴算子 (A = \frac{1}{2}{a(x, D) + a(x, D)}) 给出一个精确可预测的可观测量。

在实际操作中，通常只能得到一阶修正 (z_1(x, \xi))，在某些特殊情况下能控制二阶甚至三阶修正。我们将使用 (a(x, \xi) = q(x, \xi) + z(x, \xi)) 进