44、解析集理论：性质、操作与应用

解析集理论：性质、操作与应用

1. 解析集的基础性质

首先，我们来看一些解析集的基础性质。若函数 (f : A \to \mathbb{R}) 连续，且能扩展为区间 (I) 上的一一连续函数 (\tilde{f})，那么 (f(A)) 属于 (G_{\delta}) 型集合。

设 (C(I, I)) 表示所有从 (I = [0, 1]) 到其自身的连续映射构成的空间，赋予上确界度量。定义 (C_2 = {f \circ f : f \in C(I, I)})，可以证明 (C_2) 是 (C(I, I)) 的解析子集。提示是考虑映射 (f \to f \circ f)。

2. 非波莱尔解析集的存在性

证明存在不是波莱尔集的解析集至关重要，否则相关理论将局限于波莱尔集的额外性质研究。Suslin 是首个证明此结论的人。

定理：设 (X) 是完备、可分的度量空间，则 (X) 包含一个不是波莱尔集的解析集。
证明步骤：
1. 只需在空间 (\mathbb{N}^{\mathbb{N}}) 中证明该结论。若能在 (\mathbb{N}^{\mathbb{N}}) 中找到这样的集合，根据相关定理，(X) 包含一个与 (\mathbb{N}^{\mathbb{N}}) 同胚的波莱尔集 (B)，那么 (B) 中就存在这个非波莱尔的解析集。
2. 对于完备、可分的度量空间 (Z)，能找到一个闭集 (C \subset Z \times \mathbb{N}^{\mathbb{N}})，使得 (Z) 中的每个闭集都可表示为“切片” (C_n = {