25、量子信息：纠缠、纯化与纠错

量子信息：纠缠、纯化与纠错

1. 量子纠错基础

在量子计算中，我们将 $k$ 个逻辑量子比特编码到 $n$ 个物理量子比特中。码字所在的子空间 $H_L$ 维度为 $2^k$，而所有量子比特的希尔伯特空间 $H$ 维度为 $2^n$。可能的错误算子（由最多 $t$ 个泡利算子的张量积组成）会将 $H_L$ 变换为维度为 $2^k$ 的子空间。为了实现有效的纠错，这些子空间必须相互正交，这一条件对所需的量子比特数量施加了一个最小界限，即量子汉明界。

计算量子汉明界时，我们需要统计作用在 $n$ 个量子比特上，包含 $t$ 个或更少泡利算子的不同错误算子 $E$ 的数量。先计算包含 $l$ 个泡利算子的算子数量，再对 $l$ 从 $0$ 到 $t$ 求和。包含 $l$ 个泡利算子的算子数量为 $3^l\frac{n!}{l!(n - l)!}$，因为从 $n$ 个量子比特中选 $l$ 个有 $\frac{n!}{l!(n - l)!}$ 种组合，且每个选中的量子比特有 3 种可能的泡利算子。因此，量子汉明界为：
[2^k\sum_{l = 0}^{t}3^l\begin{pmatrix}n\l\end{pmatrix}< 2^n]
当 $k = 1$ 时，最小的 $n$ 为 5。

此外，还有容错纠错理论，只要每个门的错误率低于某个阈值，就可以实现有效的纠错。

2. 纠错与退相干

上述纠错方案在量子比特与环境存在（不期望的）耦合导致退相干的情况下仍然有效。可以将描述第 $i$ 个量子比特与其局部环境演化的算子展开为：
[U_i = \alpha_i1_i \otimes E_{i0} + \epsilon_