49、泛函分析中的嵌入定理、一致有界原理及求和法应用

泛函分析中的嵌入定理、一致有界原理及求和法应用

1. 嵌入定理

抽象赋范线性空间的概念较为宽泛，它通过公理定义，包含了无数具体例子。在数学中，常希望将抽象结构的所有实例都看作某一单一事物的不同方面。这里我们会看到，所有赋范线性空间都可视为配备上确界范数的函数空间。具体而言，每个赋范线性空间都能嵌入到某个集合 $A$ 上的 $M(A)$ 空间中作为其子空间。

在之前讨论度量空间 $X$ 到度量空间 $Y$ 的嵌入时，定义嵌入的映射需为等距映射，以保持度量性质，且不要求线性性，因为 $X$ 上未施加线性结构，所以等距的 $X$ 和 $Y$ 可视为等同。

而对于赋范线性空间，若存在从 $X$ 到 $Y$ 的线性映射 $\varphi$，使得对于所有 $x \in X$ 都有 $|\varphi(x)| = |x|$，则称 $\varphi$ 为同构或线性等距映射，称 $X$ 和 $Y$ 同构。若 $Y = \varphi(X)$ 包含在赋范线性空间 $Z$ 中，则称 $X$ 嵌入到 $Z$ 中，或 $X$ 与 $Z$ 的子空间 $Y$ 同构。

定理 12.46：设 $X$ 为赋范线性空间，则存在集合 $A$，使得 $X$ 与 $A$ 上有界实值函数的巴拿赫空间 $M(A)$ 的一个子空间同构，其中 $M(A)$ 的范数为 $|f|{\infty} = \sup{t \in A} |f(t)|$。

证明步骤：
1. 选取 $X$ 的任意一个稠密子集，并将其索引为 ${x_{\alpha} : \alpha \in A}$，索引集 $A