17、FIR和IIR滤波器的结构与实现

FIR和IIR滤波器的结构与实现

1. FIR滤波器的快速卷积形式

FIR滤波器的快速卷积形式是一种高效的实现方法。其基本步骤如下：
1. 将输入序列分段成块。
2. 对每个块进行快速傅里叶变换（FFT）。
3. 对滤波器系数 (h(n)) 进行快速傅里叶变换。
4. 将每个块的FFT结果 (X_i(k)) 与滤波器系数的FFT结果 (H_i(k)) 相乘。
5. 对乘积结果进行逆快速傅里叶变换（IFFT）。
6. 从逆FFT结果形成输出序列。

下面是其流程的mermaid流程图：

graph LR A[输入序列] --> B[分段成块] B --> C[块的FFT] D[滤波器系数h(n)] --> E[h(n)的FFT] C --> F[乘积Xi(k)Hi(k)] E --> F F --> G[逆FFT] G --> H[输出序列]

2. IIR滤波器的实现形式

2.1 直接形式I

IIR滤波器的直接形式I的传递函数 (H(z)) 可以表示为：
[H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{N(z)}{D(z)} = \frac{\sum_{k=0}^{N} a_k z^{-k}}{1 + \sum_{k=1}^{M} b_k z^{-k}}]
通过交叉相乘可得：
[Y(z) \left(1 + \sum_{k=1}^{