29、矩阵知识全解析：从基础定义到高斯消元法

矩阵知识全解析：从基础定义到高斯消元法

1. 引言

矩阵在数学和计算机科学中有着广泛的应用。我们将从非常通用的视角出发，先讨论元素位于任意环 (R) 中的矩阵，然后再专门讨论元素位于域 (F) 中的矩阵，因为在域的情况下能得到更多的结论。本文的一个主要目标是讨论“高斯消元法”，这是一种能让我们高效计算 (F) - 线性映射的像和核的基的算法。

2. 矩阵的基本定义和性质

• 矩阵的定义：对于正整数 (m) 和 (n)，环 (R) 上的 (m×n) 矩阵 (A) 是一个矩形阵列：
  [
  A =
  \begin{pmatrix}
  a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
  a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
  a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
  \end{pmatrix}
  ]
  其中每个元素 (a_{ij}) 都是 (R) 中的元素。第 (i) 行可表示为 (A(i)=(a_{i1}, \cdots, a_{in}))，第 (j) 列可表示为 (A(\cdot, j)=\begin{pmatrix}a_{1j} \ a_{2j} \ \vdots \ a_{mj}\end{pmatrix})。
• 矩阵的分类：