信号与系统-傅里叶

1、傅里叶级数（周期信号）

方程的推导

1）问题的提出：解热传导的求解(热传导方程是一个LTI系统)

2）傅里叶级数表达式（通过欧拉公式可以实现以下两种形式的切换）：

为傅里叶级数（离散）x(t)为连续信号（连续）

w0-基波频率、kw0-k次谐波频率、a0-直流分量、2pi/w0-基波周期

3）a0\Bk\Ck的值（计算），级数和复数形式的对比

4）收敛的条件（狄利克雷）

2、连续傅里叶变换

1）连续傅里叶变换公式（其中X(jw)称为x(t)的傅里叶变换）

傅里叶变换 （频率域） 连续
傅里叶逆变换 （时间域） 连续

2）连续傅里叶变换对（奥本海姆P209）

3）连续傅里叶变换的性质

4）傅里叶变换求傅里叶级数

5）调制与解调（低通滤波器）

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常见信号的傅里叶变换

方波、三角波、阶跃信号、冲激信号、时移信号

四个不常见信号的傅里叶变换

双边指数、高斯脉冲、半波余弦信号、奇对称斜线

3、离散傅里叶变换

1）离散傅里叶变换公式

傅里叶变换 （频率域） 连续
傅里叶逆变换 （时间域） 离散

2）离散傅里叶变换对（奥本海姆P248）

3）离散傅里叶变换的性质

4、快速傅里叶变换FFT（离散傅里叶级数DFS）

由于计算机的处理不能无限，引入离散<——>离散的傅里叶变换

1）演进

计算时选取N个离散频域，通过可逆矩阵求离散序列，时间复杂度o(N^3)

若选取的N个均匀分布在[0,2pi)，即=2pi/N*k，时间复杂度可以降为o(N^2)

进一步，通过分治法和蝴蝶图将时间复杂度降低为o(NlogN)

1）

2）