布斯（Booth）补码乘法：原理推导与实站案例讲解

布斯(Booth)乘法

1.背景

• 在了解了手动补码运算之后 ——> 计算机内部是如何进行补码的乘法的运算 ——>布斯(Booth)乘法

• A. D. Booth（安德鲁·唐纳德·布斯，Andrew Donald Booth) 提出了一种补码相乘算法，可以将符号位和数值位合在一起参与运算，直接得出用补码表示的乘积，且正数和负数同等对待。这种算法别乘法布斯(Booth)乘法

• 注：[ X × Y ] 补 ≠ [ X ] 补 × [ Y ] 补 [X \times Y]_{\text{补}} \neq [X]_{\text{补}} \times [Y]_{\text{补}}[X×Y]补​=[X]补​×[Y]补​

2.公式推导

2.1 补码算真值公式

2.2[ X × Y ] 补 [X \times Y]_{\text{补} }[X×Y]补​的布斯乘法递推公式

这里简单解释下这个过程：在上面得到了求一个数补码的真值的形式 ----> 把它凑成一个递推的形式 —–> 拆分构造( Y i − 1 − Y i ) (Y_{i-1}-Y_i)(Yi−1​−Yi​)差分结构

看粉色画线部分 即 之后的每一项都整理成 —–>后一位置二进制数减去当前位二进制数的形式

2.3 部分积P_i递归公式

这里简单解释下这个过程 —> 其实就是把 (2)式展开 然后再合并一下 —–> 自己手写一下展开过程 很简单

2.4 联立 (2) (3) 式

（2）式从P₁到P_n每次都要乘一个1/2乘n次就是 2^-n

2.5 结果

对(2)的补充

​ Y_i- Y_i-1> 0 则 + [ x ]_补

​ Y_i- Y_i-1< 0 则 - [ x ]_补

​ Y_i- Y_i-1= 0 则 + 0

3 案例

P 是乘积寄存器，Y是乘数寄存器

简单解释下这个计算过程 —–>

第一行：初始化，乘积寄存器P和辅助位Y_-1初始化为0 放入乘数Y

第二行： Y_i- Y_i-1= 0 则 + 0 然后再右移一位 P为 0000 0 Y为 011 Y_-1为0

第三行： Y_i- Y_i-1< 0 则 - [ x ]_补然后再右移一位 P为 0001 10 Y为 01 Y_-1为1

第四行： Y_i- Y_i-1= 0 则 + 0 然后再右移一位 P为 0000 110 Y为 0 Y_-1为1

第五行： Y_i- Y_i-1> 0 则 + [ x ]_补然后再右移一位 P为 1110 1110 Y为空 Y_-1为0

最后即得到[ X × Y ] 补 [X \times Y]_{\text{补} }[X×Y]补​的乘积 即为P中的内容 1110 1110

​

​ 嘻嘻嘻嘻布斯乘法部分到此结束😆😆

​ (有错误欢迎指出) (疑问也是)❤️❤️😍😍💖💖

持续更新中… …