动力系统近似性质：从部分规范性到平均追踪性的理论突破

1. 动力系统研究中的“近似”艺术：从规范到追踪

在拓扑动力系统的世界里，我们常常痴迷于一个核心问题：系统的长期轨道行为究竟有多“可预测”或“可重构”？这听起来很抽象，但想象一下，你正在观察一个复杂系统的演化轨迹，比如气象模型中的气流、神经网络中的信号传递，或者一个抽象符号系统的迭代过程。你记录下了一系列离散的“快照”（状态点），但这些记录可能因为观测误差、计算舍入或模型简化而存在微小偏差，形成一条“伪轨道”。一个根本性的追问是：是否存在系统的一条真实轨道，在绝大多数时间里，都与我们观测到的这条带有噪声的伪轨道几乎一致？如果能找到，我们就说系统具有某种“追踪性”，这意味着系统的内在动力学结构足够稳健，能够“容忍”并“纠正”一定程度的观测或扰动。

这就是“追踪性”研究的魅力所在。经典的“伪轨道追踪性”（Shadowing Property）要求严格：伪轨道上的每一个点，都必须被真实轨道上的对应点以任意预设的精度逼近。这就像要求一位模仿者每一步都必须踩在原始舞者的脚印上，误差不能超过一粒沙子的宽度。这个性质很强，但也很“挑剔”，许多有趣的系统（比如某些混沌系统或具有复杂递归结构的系统）并不具备它。

于是，数学家们开始思考更宽松、更符合实际观测场景的“追踪”概念。“平均追踪性”（Average Shadowing Property）应运而生。它不再苛求每一步都精准，而是允许追踪过程中出现偶尔的、甚至可能很大的偏差，只要这些偏差在时间平均的意义上足够小。就好比模仿者的舞步总体节奏和平均位置与原始舞者一致，但允许其在某些复杂段落出现短暂的、大幅度的错位。这个性质显然适用于更广泛的系统类别。

另一方面，与“追踪性”平行发展的还有“规范性”（Specification Property）这一概念族。它关注的是：给定系统中几段有限的、可能来自不同起点的真实轨道段，能否用一条完整的、更长的真实轨道将它们“串”起来，使得这条长轨道在对应的时段内分别逼近那几段短轨道？这就像用一根线把几颗散落的珍珠串成项链。经典的规范性同样要求严格逼近，而它的各种弱化版本，如“弱规范性”、“几乎规范性”，则放宽了要求。

2025年，Yaari引入了“部分规范性”（Partial Specification Property），这是规范性家族的最新成员。它的核心创新在于允许“串接”过程存在一定比例的误差。也就是说，用来连接各段轨道的那个点，不需要在对应时段内完美逼近每一段目标轨道，而只需要在“大多数”时间点上逼近即可。这与平均追踪性中“允许平均误差小”的思想产生了奇妙的共鸣：两者都从“全局统计”而非“局部严格”的视角来审视轨道的近似行为。

那么，一个自然且深刻的问题就浮现了：这两种从不同角度定义的“松弛的鲁棒性”——部分规范性与平均追踪性——之间，是否存在必然的逻辑联系？这正是Melih Emin Can和Marcin Kulczycki在2026年的这篇工作中试图回答的。他们证明了，对于紧致动力系统，部分规范性确实蕴含着平均追踪性。这个结果不仅连接了两个重要的概念，更重要的是，它为我们理解动力系统轨道结构的统计稳定性提供了一个新的、统一的视角。基于这一桥梁，他们进一步推导出了一个关于系统统计性质的重要推论：对于具有部分规范性的满射系统，其遍历测度在全体不变测度构成的空间中稠密。这揭示了轨道层面的近似能力（部分规范性）如何深刻地影响了系统在测度层面的统计结构。此外，文中还精心构造了一个反例，首次展示了一个紧致的、但却不是Besicovitch完备的动力系统，澄清了这一性质并非普遍成立。

本文旨在深入解读这项工作的核心思想、证明脉络及其意义。我们将避开过于繁复的公式推导，着重于厘清概念背后的直观图像、证明策略的关键步骤，以及这些结论在整个动力系统理论图景中的位置。

1.1 核心概念图谱：从严格到平均，从规范到追踪

在深入主定理之前，我们需要建立一张概念地图。动力系统中这些“性质”繁多，容易混淆，理解它们的层次和关系至关重要。

1. 追踪性家族：

• 经典伪轨道追踪性：对任意精度ε > 0，存在δ > 0，使得任意δ-伪轨道都能被一条真实轨道以精度ε逐点追踪。
• 平均追踪性：对任意ε > 0，存在δ > 0，使得任意δ-平均伪轨道都能被一条真实轨道以ε的平均误差逼近。平均伪轨道允许偶尔出现大的步进误差，只要这些误差在时间平均上小于δ。
• 渐近平均追踪性：要求对任意渐近平均伪轨道（即步进误差的平均值趋于0的伪轨道），存在一条真实轨道，其与伪轨道的距离的上极限平均为0。这比平均追踪性更强。

2. 规范性家族：

• 经典规范性：对任意ε > 0，存在一个间隔常数M，使得任意一组被足够长间隔（至少M）分开的有限轨道段，都能被一条真实轨道以精度ε逐段追踪。
• 弱规范性：将固定的间隔常数M放宽为一个增长速率比间隔长度慢的函数f。
• 部分规范性：对任意ε > 0，存在间隔常数M，使得任意一组M-间隔的轨道段，都能被一个周期点以“1-ε比例的时间精度为ε”的方式追踪。关键词是“比例”，它允许追踪在最多ε比例的时间点上失败。

3. 另一个维度：Besicovitch完备性这是一个源于度量（更准确说是伪度量）完备性的概念。我们可以在轨道空间上定义Besicovitch伪度量ρ_B^T，它衡量两条轨道在长时间平均下的距离。一个系统是Besicovitch完备的，如果在这个伪度量下，任何Cauchy序列都有极限点（属于系统的真实轨道）。直观上，它要求系统的轨道空间在“平均意义”下是“封闭”的。

已知的一些关系网：

• 渐近平均追踪性 ⇔ 模糊规范性。
• 对于满射系统：渐近平均追踪性 ⇔ (平均追踪性 + Besicovitch完备性)。
• 规范性 ⇒ 弱规范性 ⇒ 几乎规范性。
• 追踪性与规范性常常在相同的系统类中共存（如混合有限型移位、混合区间映射），但它们之间的蕴含关系并非总是显然。

本文的核心定理3.9，就是在这样的知识背景下，建立了部分规范性 ⇒ 平均追踪性这一新的连接。

2. 定理证明的核心策略与思路拆解

证明部分规范性蕴含平均追踪性，其核心思想是搭建一座“桥梁”：将一个全局的、统计意义上的平均伪轨道，分解为一连串局部的、有限长的片段，然后利用部分规范性将这些片段“粘合”起来，最终构造出一条全局的真实轨道来近似它。

2.1 从平均伪轨道到部分伪轨道

证明的第一步（对应原文命题3.2）是一个巧妙的观察。给定一个δ^2-平均伪轨道{x_i}，根据定义，存在N，使得对任意长度n >= N的窗口，其步进误差的平均值小于δ^2。 现在，固定一个长度为n的窗口。考虑其中步进误差>= δ的那些位置。如果这些“坏点”的比例超过δ，那么仅由这些坏点贡献的平均误差就会至少是δ * δ = δ^2，这与平均误差小于δ^2矛盾。因此，坏点的比例必须小于δ。这意味着，在任意足够长的窗口上，这条平均伪轨道同时也是一个δ-部分伪轨道（因为好点，即误差< δ的点，比例大于1-δ）。

关键洞见：平均伪轨道在任意足够长的有限段上，自动满足部分伪轨道的条件。这建立了从“全局平均控制”到“局部比例控制”的联系。

2.2 利用部分规范性进行“局部修补”

既然我们有了任意长有限段都是部分伪轨道，而系统具有部分规范性，那么根据定义，对于给定的精度ε/8，存在一个间隔常数M。我们接下来要做的，是将无限长的平均伪轨道切割成一系列长度为r的段，段与段之间预留长度为M的“缓冲带”。

具体操作如下：

1. 选择足够大的r，使得(M + r*ε/2) / (M + r) < 3ε/4。这个r要远大于M，以确保缓冲带的比例很小。
2. 将时间轴划分为区间：[a_j, b_j) = [j*(M+r), j*(M+r)+r)。每个区间长度是r，相邻区间间隔是M。
3. 对于第j个区间[a_j, b_j)，我们取出平均伪轨道{x_i}上对应的片段{x_{i+a_j}}（i从0到r-1）。根据第一步的结论，当r足够大时，这个片段是一个δ-部分伪轨道。
4. 由于系统具有部分规范性（实际上，文中先引用了引理4.7，指出部分规范性蕴含部分追踪性），我们可以为这个片段找到一个“局部追踪点”z^{(j)}。这个点z^{(j)}的真实轨道，在区间[a_j, b_j)上，能以1 - ε/8的比例、ε/8的精度逼近该伪轨道片段。

至此，我们为每一个长度为r的伪轨道片段，都找到了一个对应的“局部代言人”z^{(j)}。

2.3 将“局部代言人”粘合成“全局代言人”

现在我们有一系列点{z^{(j)}}，每个点负责追踪一段伪轨道。但它们本身是孤立的。如何得到一条贯穿始终的真实轨道？这里就用到了部分规范性的核心力量。

考虑由这些局部追踪点z^{(j)}生成的轨道段：{ T^{[a_j, b_j)}(z^{(j)}) }。注意，这些轨道段的定义域[a_j, b_j)彼此之间恰好间隔M（因为a_{j+1} - b_j = M）。因此，{ T^{[a_j, b_j)}(z^{(j)}) }构成了一个无限的、M-间隔的规范族。

根据原文的命题3.8（这是本文的一个关键技术性引理），对于具有部分规范性的系统，任意无限M-间隔规范族，都可以被一个点z的轨道以ε/8的比例精度追踪。也就是说，存在一个全局点z，对于每个j，在区间[a_j, b_j)上，z的轨道与z^{(j)}的轨道在至少1 - ε/8比例的时间点上，误差小于ε/8。

2.4 误差的合成与全局平均控制

现在，我们有了三个对象在区间[a_j, b_j)上进行比较：

1. 伪轨道片段X = {x_{a_j}, ..., x_{b_j-1}}
2. 局部追踪点轨道Z^{(j)} = {T^{a_j}(z^{(j)}), ..., T^{b_j-1}(z^{(j)})}
3. 全局追踪点轨道Z = {T^{a_j}(z), ..., T^{b_j-1}(z)}

它们的关系是：

• X和Z^{(j)}：由“局部追踪”保证，在至少1 - ε/8比例的点上，距离< ε/8。
• Z^{(j)}和Z：由“无限规范追踪”保证，在至少1 - ε/8比例的点上，距离< ε/8。

根据集合论，同时满足以上两个条件的点的比例至少为1 - ε/4。在这些点上，由三角不等式，X和Z的距离< ε/4。在剩下的至多ε/4比例的点上，距离最大为系统直径（假设为1）。

因此，在整个区间[a_j, b_j)上，X和Z的平均距离上界为：(1 - ε/4) * (ε/4) + (ε/4) * 1 = ε/4 - ε^2/16 + ε/4 ≈ ε/2（忽略高阶小量）。

但别忘了，我们的区间是[a_j, a_{j+1}) = [a_j, a_j + M + r)，长度为M+r。而上述计算只针对了前r个点（即[a_j, b_j)）。在后面的M个点的缓冲带上，我们没有控制，误差最大为1。所以，在整个M+r长的段上，平均误差的上界是：[ r * (ε/2) + M * 1 ] / (M+r)

由于我们最初选择了足够大的r，使得(M + r*ε/2)/(M+r) < 3ε/4，因此整个段上的平均误差小于3ε/4。

由于整个时间轴被这些等长的段[a_j, a_{j+1})不重叠地覆盖，全局的平均误差ρ_B(x, z_T)就是这些段平均误差的上极限，它必然也小于3ε/4。由于ε是任意的，这就证明了平均追踪性。

证明策略总结：整个证明是一个精妙的“分而治之”与“粘合”过程。分解：将无限平均伪轨道切成有限长片段，每个片段自动成为部分伪轨道。局部解决：用部分追踪性为每个片段找到局部近似点。全局粘合：利用部分规范性（通过命题3.8）将这些局部近似点的轨道段，用一个全局点的轨道近似连接起来。误差合成：通过比例计算和三角不等式，将局部误差控制汇总为全局平均误差控制。

3. 核心引理与关键技术的深度剖析

要完全理解主定理的证明，有两个技术性环节需要深入剖析：命题3.8和命题3.4。它们分别是粘合过程与后续推论的基础。

3.1 命题3.8：从有限规范到无限规范

命题3.8断言：如果系统具有部分规范性，那么对于任意ε>0，存在M，使得任何无限的M-间隔规范族，都能被一个点ε-部分追踪。

这并非部分规范性定义的直接推论。原始定义只保证了对于有限个轨道段组成的规范族，存在周期点进行部分追踪。而这里要求对无限族也成立，并且追踪点不必是周期点。

证明思路（对角线法）：

1. 有限逼近：对于一个无限的规范族{T^{[a_i, b_i)}(x_i)}_{i=1}^∞，先考虑它的任意有限前缀，比如前r段。根据部分规范性，存在点z_r来ε/2-部分追踪这个有限规范族。
2. 提取公共模式：我们有无穷多个这样的z_r（r=1,2,3,...）。考虑第一段轨道[a_1, b_1)。z_r的轨道在这段区间上，以1-ε/2的比例逼近x_1的轨道。由于比例是1-ε/2，满足这个逼近条件的下标集合Λ_1 ⊂ [a_1, b_1)虽然有很多可能，但[a_1, b_1)是有限区间，所以所有可能的Λ_1只有有限种。
3. 紧致性论证：因此，必然存在一种固定的模式Λ_1和一个子序列{z_r^(1)}，使得该子序列中的所有点都在Λ_1上一致地逼近x_1。然后对这个子序列和第二个区间[a_2, b_2)重复此过程，得到更细的子序列{z_r^(2)}和一个公共模式Λ_2。如此反复，对每个区间[a_i, b_i)我们都能得到一个公共逼近模式Λ_i和一个点列{z_r^(i)}。
4. 构造极限点：现在考虑对角线序列{z_n^(n)}。这个序列的每个点z_n^(n)都有一个性质：对于前n个区间，它都在对应的模式Λ_1, ..., Λ_n上一致地逼近x_1, ..., x_n。由于系统所在空间X是紧致的，该序列存在收敛子列，设其极限为z。
5. 验证极限点：通过连续性和极限过程，可以证明这个极限点z的轨道，在每个区间[a_i, b_i)上，都在模式Λ_i（比例>1-ε）上以精度ε逼近x_i的轨道。这就完成了无限规范的追踪。

这个论证的精妙之处在于，它利用了空间的紧致性和有限区间的组合有限性，通过经典的对角线法，将一列仅满足有限近似的点“提炼”出一个满足无限近似的极限点。这体现了动力系统研究中“有限逼近无限”的常见哲学。

3.2 命题3.4与推论：从部分追踪到链混合

命题3.4证明：如果满射系统(X, T)具有部分追踪性，那么它是链混合的。

直观理解：链混合意味着，对于任意两个点x和y，以及任意长的长度n，你都可以用一条误差任意小的伪轨道（δ-链）从x走到y，并且这条伪轨道的长度恰好是n。这比链传递（只要求存在一条链连接两点，长度不限）更强。

证明策略概述：

1. 首先证明(X, T)是链传递的。给定x, y和δ，目标是构造一条连接x和y的δ-链。
2. 利用满射性，找到一个点y0使得T^{l-1}(y0) = y。
3. 构造一个特殊的序列：先从x开始，迭代l步得到x, T(x), ..., T^{l-1}(x)；然后接上y0, T(y0), ..., T^{l-1}(y0) = y。这个序列长度为2l。
4. 通过精心选择参数，可以证明这个序列是一个β-部分伪轨道（其中β非常小）。
5. 根据部分追踪性，存在点z以高比例（> 1-γ）逼近这个序列。由于比例很高，我们可以在前半段（靠近x）和后半段（靠近y）各找到一个时间点i和j，使得z的轨道在那两个时刻分别非常接近T^i(x)和T^{j-l}(y0)。
6. 最后，拼接三条轨道：从x到T^{i-1}(x)（真实轨道），然后从T^i(z)到T^{j-1}(z)（真实轨道），最后从T^{j-l}(y0)到y（真实轨道）。由于z在i和j时刻的逼近性，以及T的连续性，拼接处的误差可以控制在δ以内，从而得到一条从x到y的δ-链。

证明了链传递后，结合已知结论（T×T链传递蕴含T链混合）和命题3.3（部分追踪性在乘积系统下保持），就得到了链混合性。

推论3.5则指出，由于部分规范性蕴含部分追踪性（[16, Lemma 4.7]），因此具有部分规范性的满射系统也是链混合的。这为后续研究其测度性质铺平了道路。

4. 理论应用：遍历测度的稠密性

主定理3.9不仅本身漂亮，还引出了一个重要的应用：关于遍历测度稠密性的推论3.12。

4.1 动力系统与不变测度

在拓扑动力系统中，除了研究单个轨道的点态行为，我们同样关心系统的统计性质。这通常通过“不变测度”来刻画。一个Borel概率测度μ称为T-不变的，如果对任何可测集A，有μ(T^{-1}(A)) = μ(A)。所有不变测度构成的集合M_T(X)是一个紧致凸集。

在不变测度中，有一类特别重要的子集叫“遍历测度”。遍历测度是不可分解的，从某种意义上说，它描述了系统的一个“基本”的统计状态。遍历测度在M_T(X)中扮演的角色，类似于质数在正整数中的角色，或者不可约表示在群表示中的角色。

一个自然的问题是：遍历测度在全体不变测度中是否“丰富”？即，是否任意一个不变测度，都可以用遍历测度来任意逼近（在弱*拓扑下）？这就是遍历测度的稠密性问题。稠密性意味着系统的统计行为可以由其基本的、不可分解的统计状态来近似描述。

4.2 从平均追踪性到遍历测度稠密性

已知的一个重要结果是定理3.10（[5, Theorem 8.2]）：如果满射系统(X, T)具有模糊规范性，则其遍历测度在不变测度空间中稠密。

本文的作者们发现，仔细审视定理3.10的证明过程，其核心只依赖于两个条件：

1. 系统的链混合性。
2. 系统的平均追踪性。

具体来说，证明中关键的一步是[5, Proposition 8.1]，而这个命题的证明也仅用到了链混合性和平均追踪性。同时，对于满射系统，平均追踪性本身就能推出链混合性（[9, Lemma 3.1]）。

因此，虽然原文没有明确写出，但[5]中的论证实际上已经证明了定理3.11：对于具有平均追踪性的满射系统，遍历测度是稠密的。

4.3 最终推论

现在，链条闭合了：

1. 本文主定理3.9：部分规范性 ⇒ 平均追踪性。
2. 隐含定理3.11：平均追踪性 + 满射 ⇒ 遍历测度稠密。
3. 因此得到推论3.12：部分规范性 + 满射 ⇒ 遍历测度稠密。

这个推论的意义在于，它将一个纯粹的拓扑动力性质（部分规范性，描述轨道层面的近似连接能力）与一个测度动力性质（遍历测度的稠密性，描述统计层面的结构）深刻地联系了起来。它告诉我们，如果系统在轨道层面具有足够强的“柔性”和“连接能力”（表现为部分规范性），那么它在统计层面也会具有丰富的、不可分解的稳态行为。

5. 反例构造：非Besicovitch完备的系统

Besicovitch完备性是一个相对较新且性质良好的概念。在本文之前，已知的具有某种“平均”性质（如渐近平均追踪性）的系统，似乎都是Besicovitch完备的。甚至有人猜测它可能是一个普遍成立的性质。例3.14的重要性在于，它明确地否定了这种猜测，构造了一个紧致动力系统，它不是Besicovitch完备的。

5.1 构造蓝图

这个构造非常几何化且精巧，我们来梳理其核心思想：

1. 基础空间：构造一个空间X，它包含一个整个圆S0（想象为高度为0的水平圆），以及位于不同高度1/n处的一系列圆片Sn。在每个圆片Sn上，我们只取有限个点放入X。
2. 动力映射 T：
   • 在底层圆S0上，每个点都是不动点（T(z)=z）。
   • 在每个高层圆片Sn上选取的有限点集上，T的作用是让这些点沿着Sn上预先定义好的一条弧An顺序移动。具体来说，在An上取k个点a_n^1, a_n^2, ..., a_n^k，定义T(a_n^i) = a_n^{i+1}（对i<k），并定义T(a_n^k)为某个指定的点（可能是另一个弧的起点，或回到自身形成周期轨道）。关键在于，这些点在弧An上的位置是精心设计的。
3. 构造非收敛的Cauchy序列：目标是构造一个点列{p_n}，使得在Besicovitch伪度量ρ_B^T下，它是一个Cauchy序列（即任意两点随下标增大，其轨道的平均距离趋于0），但这个序列在X中没有任何极限点。
4. 如何成为Cauchy序列：选择序列{p_n}，其中p_n位于第n层圆片Sn的弧An的起点a_n^1。通过精心设计弧An的长度和点a_n^1在弧上的起始位置（由序列{r_n}控制），可以使得当n, m很大时，p_n和p_m的轨道在经过有限步迭代后，会分别稳定在弧An和Am上两个固定距离的点。由于弧的长度趋于0（1/2^{n-1}），这个固定距离也趋于0。因此，两条轨道在长时间平均下的距离（即ρ_B^T(p_n, p_m)）就等于这个稳定后的固定距离，当n,m很大时它可以任意小。所以{p_n}是Cauchy列。
5. 为何没有极限：需要验证X中没有任何点z能作为这个Cauchy序列的极限，即ρ_B^T(p_n, z)不趋于0。
   • 如果z是某个高层点a_s^t（t>1），那么它的轨道最终会与其所在弧的起点a_s^1的轨道非常接近（因为都在同一条弧上顺序移动，位置差固定）。但ρ_B^T(p_n, a_s^1)对于大的n不会趋于0（因为p_n和a_s^1位于不同层，稳定距离不同），所以z也不行。
   • 如果z是底层圆S0上的点，情况更微妙。p_n的轨道点在高位圆上运动，它们在S0上的垂直投影（忽略高度）构成了一个复杂的序列。通过设计r_n（起始角度），可以迫使这些投影点对称分布，使得它们与任何固定点z在S0上的距离的平均值有一个正的下界（至少1/4圆周长），因此ρ_B^T(p_n, z)也不趋于0。

5.2 构造的意义与启示

这个反例的构造展示了Besicovitch完备性是一个非平凡的性质。它并非由紧致性或连续性自动保证。这个例子中的系统，其动力学在高层的有限点集之间是“确定性的周期运动”，在底层则是完全静止的。不同层之间的轨道在长时间平均下可以无限接近，但没有任何一个真实轨道能同时“代表”所有这些高层轨道在平均意义下的极限行为。这形象地说明了Besicovitch伪度量空间的“不完备”性：存在一些平均意义下相互趋近的轨道（Cauchy列），但其极限“点”不在原系统的轨道集合中。

这个例子也回答了原文末尾的问题3.15吗？问题问：是否存在具有部分追踪性但不是Besicovitch完备的系统？例3.14的系统显然不是Besicovitch完备的。那么它是否有部分追踪性？文中没有证明，但很可能没有。因为部分追踪性要求系统有足够强的“连接”能力来追踪带有误差的伪轨道，而这个例子中高层与底层动力学是脱节的，高层点之间、高层与底层之间缺乏灵活的连接路径。因此，例3.14可能只是一个“非完备”的例子，要回答问题3.15，可能需要更复杂的、同时具备部分追踪性和非完备性的构造，这仍是一个开放问题。

6. 总结与展望：理论脉络与未竟之问

本文的工作在动力系统“近似性质”的研究谱系中，填补了一块重要的拼图。

1. 建立了新的蕴含关系：部分规范性 ⇒ 平均追踪性。这连接了规范性家族与追踪性家族中两个重要的“平均化”或“概率化”弱变体。
2. 深化了统计性质与轨道性质的关联：通过上述蕴含关系，结合已有理论，推出了具有部分规范性的满射系统，其遍历测度是稠密的。这延续了“Specification-like properties imply density of ergodic measures”这一研究主线。
3. 澄清了Besicovitch完备性的地位：构造了首个紧致而非Besicovitch完备的系统实例，表明该性质独立于其他常见平均性质。

未来的研究方向可能包括：

• 逆向关系：平均追踪性是否蕴含某种规范性（即使是弱化的）？目前已知对于具有经典追踪性的系统，平均追踪性等价于渐近平均追踪性，也等价于模糊规范性。但在没有经典追踪性的情况下，平均追踪性与部分规范性之间是否存在等价关系，或者是否有其他介于两者之间的性质？
• 问题3.15：构造一个具有部分追踪性但非Besicovitch完备的系统，或者证明部分追踪性蕴含Besicovitch完备性。
• 与其他性质的关系：部分规范性、平均追踪性与拓扑熵、混合性、混沌性质（如分布混沌）之间的关系如何？
• 具体系统的判定：对于一些重要的动力系统类，如子移位、区间映射、双曲系统等，如何判定它们是否具有部分规范性？这一定理能否为这些系统的平均追踪性提供新的证明方法？

这项研究体现了动力系统理论发展的典型模式：通过弱化经典定义来涵盖更广泛的系统，研究这些弱化性质之间的内在联系，并将这些轨道层面的性质与测度层面、熵层面的整体统计性质联系起来，从而不断深化我们对动力系统复杂性与结构性的理解。