004、四元数基础与运算

004、四元数基础与运算

从一次炸机说起

去年夏天，我在调试一架自组四轴时遇到了一个诡异的问题：飞机在悬停状态下每隔十几秒就会突然剧烈抖动，然后毫无征兆地翻倒。地面站日志显示，姿态解算输出的欧拉角在抖动瞬间出现了从+179度到-179度的跳变——典型的万向锁现象。当时我用的还是传统的欧拉角表示法，俯仰角接近90度时，航向角和横滚角完全失去了独立性。

那次炸机让我彻底放弃了欧拉角。如果你还在用欧拉角做飞控姿态解算，我建议你趁早换掉——不是因为它不能用，而是因为它在某些边界条件下会要了你的飞机命。四元数虽然理解起来有点反直觉，但它是目前飞控领域最可靠的姿态表示工具。

四元数到底是什么

别被“四元数”这个名字吓到。说白了，它就是用一个四维向量来表示三维空间中的旋转。数学上写成：

q = w + xi + yj + zk

其中w是实部，x、y、z是虚部。i、j、k是三个互相正交的虚数单位，满足i²=j²=k²=ijk=-1。

这里有个容易搞混的地方：很多人以为四元数的四个分量分别对应旋转轴和旋转角，其实不是。w分量和旋转角度有关，而(x,y,z)和旋转轴方向有关，但关系不是简单的线性对应。具体来说，绕单位向量(u_x, u_y, u_z)旋转θ角对应的四元数是：

q = cos(θ/2) + sin(θ/2)(u_x·i + u_y·j + u_z·k)

注意那个θ/2——这是新手最容易忽略的地方。如果你直接用θ而不是θ/2，姿态解算出来的结