3.3 凹凸性与二阶导数判别法

1.凹凸性

2.二阶导数判别法

1.凹凸性

1).定义:设函数f在开区间上可导 a.凹向上 若"一阶函数的导数(f′)在区间I上单调递增",则函数f的图像在I上凹向上 b.凹向下 若"一阶函数的导数(f′)在区间I上单调递减",则函数f的图像在I上凹向下

2).凹凸性和导数的关系(设函数f在开区间上可导)描述函数的单调性->"通过斜率是否大于0判断"a.凹向上判别 若对任意x∈(a,b),都有"f′′(x) > 0",则函数f的图像在区间(a,b)上凹向上 b.凹向下判别 若对任意x∈(a,b),都有"f′′(x) < 0",则函数f的图像在区间(a,b)上凹向下

2.二阶导数判别法

a.局部极小值判别 若"f′(c) = 0且f′′(c) > 0",则函数f在点c处取得局部极小值（local minimum） b.局部极大值判别 若"f′(c) = 0且f′′(c) < 0",则函数f在点c处取得局部极大值（local maximum）

示例:f(x)=3x^4− 4x^3− 12x^2+5的局部极值 a.求一阶导数

b.求二阶导数，应用判别法

分别计算各临界点的二阶导数值-x=-1

-x=0

-x=2

结论